Encontre o divergente da função \vec{v}=\rho\left(2+\operatorname{sen}^{2} \emptyset\right) \hat{\rho}+\rho \operatorname{sen} \emptyset \cos \emptyset \emptyset \hat{\varnothing}+3 z \hat{z}.

Passo 1

O enunciado pede: encontrar o divergente da função vetorial dada. As informações fornecidas (interpretei alguns símbolos para ficar legível) são:
  • O campo vetorial é \vec{v}=\rho\bigl(2+\operatorname{sen}^{2}\emptyset\bigr)\hat{\rho}+\rho\operatorname{sen}\emptyset\cos\emptyset\\ \hat{\varnothing}+3 z\\ \hat{z}.
  • Vou interpretar os símbolos estranhos da forma mais natural em coordenadas cilíndricas:
    • substituir \emptyset por \varphi (ângulo azimutal),
    • substituir \hat{\varnothing} por \hat{\varphi} (versor azimutal).
  • Portanto trabalho com o campo \vec{v}=\rho\bigl(2+\sin^{2}\varphi\bigr)\,\hat{\rho}+\rho\sin\varphi\cos\varphi\,\hat{\varphi}+3z\,\hat{z}.
  • A pergunta é: calcular \nabla\cdot\vec{v}, o divergente desse campo.

Passo 2

O que é o divergente e que fórmula usar (explicação didática):
  • O divergente de um campo vetorial mede a taxa de “saída de fluxo” por unidade de volume em cada ponto; é uma derivada que combina as variações das componentes do campo.
  • Em coordenadas cilíndricas (\rho,\varphi,z), com componentes v_{\rho},v_{\varphi},v_{z} na base \hat{\rho},\hat{\varphi},\hat{z}, a fórmula prática para o divergente é \nabla\cdot\vec{v}=\frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial\rho}\bigl(\rho\,v_{\rho}\bigr)+\frac{1}{\rho}\frac{\partial v_{\varphi}}{\partial\varphi}+\frac{\partial v_{z}}{\partial z}.
  • Explicando cada termo:
    • \rho é a distância radial ao eixo z.
    • \varphi é o ângulo azimutal.
    • v_{\rho} é a componente radial do campo; v_{\varphi} é a componente tangencial (azimutal); v_{z} é a componente ao longo do eixo z.
    • O fator 1/\rho aparece porque a base \hat{\varphi} e a área de um anel dependem de \rho; por isso aparece o termo \partial(\rho v_{\rho})/\partial\rho em vez de só \partial v_{\rho}/\partial\rho.
  • Vou usar essa fórmula diretamente, pois é a forma mais simples e rápida para campos em coordenadas cilíndricas.

Passo 3

Identificar as componentes do campo fornecido:
  • Comparando com a forma v_{\rho}\hat{\rho}+v_{\varphi}\hat{\varphi}+v_{z}\hat{z}, temos v_{\rho}=\rho\bigl(2+\sin^{2}\varphi\bigr),\qquad v_{\varphi}=\rho\sin\varphi\cos\varphi,\qquad v_{z}=3z.

Passo 4

Calcular o primeiro termo da fórmula, \dfrac{1}{\rho}\dfrac{\partial}{\partial\rho}\bigl(\rho v_{\rho}\bigr):
  • Primeiro calcule \rho v_{\rho}: \rho v_{\rho}=\rho\cdot\bigl(\rho(2+\sin^{2}\varphi)\bigr)=\rho^{2}\bigl(2+\sin^{2}\varphi\bigr).
  • Agora derive em relação a \rho (tratando \varphi como constante): \frac{\partial}{\partial\rho}\bigl(\rho^{2}(2+\sin^{2}\varphi)\bigr)=2\rho\bigl(2+\sin^{2}\varphi\bigr).
  • Multiplicando por 1/\rho: \frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial\rho}\bigl(\rho v_{\rho}\bigr)=\frac{1}{\rho}\cdot 2\rho\bigl(2+\sin^{2}\varphi\bigr)=2\bigl(2+\sin^{2}\varphi\bigr).

Passo 5

Calcular o segundo termo da fórmula, \dfrac{1}{\rho}\dfrac{\partial v_{\varphi}}{\partial\varphi}:
  • Temos v_{\varphi}=\rho\sin\varphi\cos\varphi. Derivando em relação a \varphi (treat \rho como constante): \frac{\partial v_{\varphi}}{\partial\varphi}=\rho\frac{d}{d\varphi}\bigl(\sin\varphi\cos\varphi\bigr).
  • Calcule a derivada trigonométrica: \dfrac{d}{d\varphi}(\sin\varphi\cos\varphi)=\cos^{2}\varphi-\sin^{2}\varphi (porque produto: cos·cos - sin·sin).
  • Então \frac{\partial v_{\varphi}}{\partial\varphi}=\rho\bigl(\cos^{2}\varphi-\sin^{2}\varphi\bigr).
  • Multiplicando por 1/\rho: \frac{1}{\rho}\frac{\partial v_{\varphi}}{\partial\varphi}=\cos^{2}\varphi-\sin^{2}\varphi.

Passo 6

Calcular o terceiro termo, \dfrac{\partial v_{z}}{\partial z}:
  • Como v_{z}=3z, a derivada em relação a z é imediata: \frac{\partial v_{z}}{\partial z}=3.

Passo 7

Somar os três termos para obter o divergente:
  • Reunindo os resultados dos passos anteriores: \nabla\cdot\vec{v}=2\bigl(2+\sin^{2}\varphi\bigr)+\bigl(\cos^{2}\varphi-\sin^{2}\varphi\bigr)+3.
  • Desenvolvendo e combinando termos semelhantes: \nabla\cdot\vec{v}=4+2\sin^{2}\varphi+\cos^{2}\varphi-\sin^{2}\varphi+3.
\nabla\cdot\vec{v}=7+\bigl(2\sin^{2}\varphi-\sin^{2}\varphi\bigr)+\cos^{2}\varphi=7+\sin^{2}\varphi+\cos^{2}\varphi.

Passo 8

Usar a identidade trigonométrica básica e concluir:
  • Lembrando que \sin^{2}\varphi+\cos^{2}\varphi=1, temos \nabla\cdot\vec{v}=7+1=8.
  • Portanto o divergente é uma constante igual a 8 (independente de \rho,\varphi,z).

Resposta

8

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