Encontre o divergente da função
.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar o divergente da função vetorial dada. As informações fornecidas (interpretei alguns símbolos para ficar legível) são:
- O campo vetorial é
. - Vou interpretar os símbolos estranhos da forma mais natural em coordenadas cilíndricas:
- substituir
por (ângulo azimutal), - substituir
por (versor azimutal).
- substituir
- Portanto trabalho com o campo
- A pergunta é: calcular
, o divergente desse campo.
Passo 2
O que é o divergente e que fórmula usar (explicação didática):
- O divergente de um campo vetorial mede a taxa de “saída de fluxo” por unidade de volume em cada ponto; é uma derivada que combina as variações das componentes do campo.
- Em coordenadas cilíndricas
, com componentes na base , a fórmula prática para o divergente é - Explicando cada termo:
-
é a distância radial ao eixo . -
é o ângulo azimutal. -
é a componente radial do campo; é a componente tangencial (azimutal); é a componente ao longo do eixo . - O fator
aparece porque a base e a área de um anel dependem de ; por isso aparece o termo em vez de só .
-
- Vou usar essa fórmula diretamente, pois é a forma mais simples e rápida para campos em coordenadas cilíndricas.
Passo 3
Identificar as componentes do campo fornecido:
- Comparando com a forma
, temos
Passo 4
Calcular o primeiro termo da fórmula,
:
- Primeiro calcule
: - Agora derive em relação a
(tratando como constante): - Multiplicando por
:
Passo 5
Calcular o segundo termo da fórmula,
:
- Temos
. Derivando em relação a (treat como constante): - Calcule a derivada trigonométrica:
(porque produto: cos·cos - sin·sin). - Então
- Multiplicando por
:
Passo 6
Calcular o terceiro termo,
:
- Como
, a derivada em relação a é imediata:
Passo 7
Somar os três termos para obter o divergente:
- Reunindo os resultados dos passos anteriores:
- Desenvolvendo e combinando termos semelhantes:
Passo 8
Usar a identidade trigonométrica básica e concluir:
- Lembrando que
, temos - Portanto o divergente é uma constante igual a
(independente de ).