Encontre o divergente dos seguintes vetores:
\mathbf{A}=e^{x y} \mathbf{a}_{ \mathbf{x}}+\operatorname{sen}(x y) \mathbf{a}_{ \mathbf{y}}+\cos ^{2}(x z) \mathbf{a}_{ \mathbf{z}}

Passo 1

O enunciado pede o divergente do campo vetorial \mathbf{A}=e^{xy}\,\mathbf{a}_x+\sin(xy)\,\mathbf{a}_y+\cos^2(xz)\,\mathbf{a}_z.
O conteúdo aqui é o operador divergente em coordenadas cartesianas, definido por
\nabla\cdot\mathbf{A} =\frac{\partial A_x}{\partial x}+\frac{\partial A_y}{\partial y}+\frac{\partial A_z}{\partial z}.

Passo 2

Identificamos as componentes:
A_x=e^{xy},\quad A_y=\sin(xy),\quad A_z=\cos^2(xz).

Passo 3

Calculamos
\frac{\partial A_x}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}e^{xy} =y\,e^{xy}.

Passo 4

Calculamos
\frac{\partial A_y}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\sin(xy) =x\cos(xy).

Passo 5

Para a última componente, use a regra da cadeia: se u=xz, então
\frac{\partial}{\partial z}\cos^2(u) =2\cos(u)\bigl(-\sin(u)\bigr)\frac{\partial u}{\partial z} =-2\cos(xz)\sin(xz)\;x.
Podemos também escrever esse resultado como
-2x\cos(xz)\sin(xz)=-x\sin\bigl(2xz\bigr).

Passo 6

Somando as três derivadas parciais, obtemos
\nabla\cdot\mathbf{A} =y\,e^{xy}+x\cos(xy)-2x\cos(xz)\sin(xz).
Ou, de forma mais compacta,
\nabla\cdot\mathbf{A} =y\,e^{xy}+x\cos(xy)-x\sin\bigl(2xz\bigr).

Resposta

\nabla\cdot\mathbf{A} =y\,e^{xy}+x\cos(xy)-2x\cos(xz)\sin(xz)
que equivale a
\nabla\cdot\mathbf{A} =y\,e^{xy}+x\cos(xy)-x\sin\bigl(2xz\bigr).

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