Encontre o divergente do vetor
\mathbf{i}\left(x^{2}+y z\right)+\mathbf{j}\left(y^{2}+z x\right)+\mathbf{k}\left(z^{2}+x y\right) .
Encontre também o rotacional.

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
\mathbf{F}=\mathbf{i}\bigl(x^{2}+y z\bigr)+\mathbf{j}\bigl(y^{2}+z x\bigr)+\mathbf{k}\bigl(z^{2}+x y\bigr)
e pede duas coisas: (1) o divergente de \mathbf{F} e (2) o rotacional (curl) de \mathbf{F}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
F_1=x^{2}+y z,\qquad F_2=y^{2}+z x,\qquad F_3=z^{2}+x y,
onde F_1,F_2,F_3 são as componentes de \mathbf{F} nas direções \mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k} respectivamente. Não há outras condições (domínio, singularidades), portanto trabalhamos com derivadas parciais usuais.

Passo 2

Vamos lembrar as fórmulas que usamos (aula rápida e prática):
A divergência de um campo vetorial \mathbf{F}=(F_1,F_2,F_3) é definida por
\mathrm{div}\,\mathbf{F}=\frac{\partial F_1}{\partial x}+\frac{\partial F_2}{\partial y}+\frac{\partial F_3}{\partial z}.
Aqui a ideia é: pego a derivada parcial da componente na direção x em relação a x, somo com a derivada parcial da componente na direção y em relação a y, e assim por diante. Cada derivada parcial mede quanto aquela componente “expande” ao longo de sua direção.

Passo 3

Calculo as derivadas parciais necessárias para a divergência. Lembre-se: ao derivar em relação a uma variável, tratamos as outras como constantes.
Derivo F_1=x^{2}+y z em relação a x:
\frac{\partial F_1}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{2}+y z\bigr)=2x.
(Observação: y z é tratado como constante quando derivamos em x, então dá 0.)
Derivo F_2=y^{2}+z x em relação a y:
\frac{\partial F_2}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(y^{2}+z x\bigr)=2y.
(Aqui z x é constante em relação a y.)
Derivo F_3=z^{2}+x y em relação a z:
\frac{\partial F_3}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}\bigl(z^{2}+x y\bigr)=2z.
(Aqui x y é constante em relação a z.)

Passo 4

Agora somo as três derivadas parciais para obter a divergência:
\mathrm{div}\,\mathbf{F}=2x+2y+2z=2(x+y+z).
Isso é o resultado do primeiro pedido. Intuitivamente, cada termo quadrático produz contribuição dupla na sua própria direção, e os termos mistos xy,yz,zx não contribuem para a divergência porque aparecem em componentes diferentes e, ao derivar pela variável “própria”, são constantes.

Passo 5

Agora o rotacional. A definição (componentes) do rotacional de \mathbf{F}=(F_1,F_2,F_3) é
\mathrm{curl}\,\mathbf{F}=\nabla\times\mathbf{F}=\mathbf{i}\Bigl(\frac{\partial F_3}{\partial y}-\frac{\partial F_2}{\partial z}\Bigr)+\mathbf{j}\Bigl(\frac{\partial F_1}{\partial z}-\frac{\partial F_3}{\partial x}\Bigr)+\mathbf{k}\Bigl(\frac{\partial F_2}{\partial x}-\frac{\partial F_1}{\partial y}\Bigr).
Aqui cada componente do rotacional é a diferença entre duas derivadas parciais cruzadas — isso mede a tendência do campo “rotacionar” em torno dos eixos.

Passo 6

Calculo todas as derivadas parciais mistas que aparecem no rotacional (novamente tratando variáveis não envolvidas como constantes):
\frac{\partial F_3}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(z^{2}+x y\bigr)=x,
\frac{\partial F_2}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}\bigl(y^{2}+z x\bigr)=x,
portanto a componente em \mathbf{i} é
\frac{\partial F_3}{\partial y}-\frac{\partial F_2}{\partial z}=x-x=0.
Próximo par:
\frac{\partial F_1}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}\bigl(x^{2}+y z\bigr)=y,
\frac{\partial F_3}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(z^{2}+x y\bigr)=y,
portanto a componente em \mathbf{j} é
\frac{\partial F_1}{\partial z}-\frac{\partial F_3}{\partial x}=y-y=0.
Último par:
\frac{\partial F_2}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(y^{2}+z x\bigr)=z,
\frac{\partial F_1}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{2}+y z\bigr)=z,
portanto a componente em \mathbf{k} é
\frac{\partial F_2}{\partial x}-\frac{\partial F_1}{\partial y}=z-z=0.

Passo 7

Juntando os três componentes vemos que o rotacional é o vetor nulo:
\mathrm{curl}\,\mathbf{F}=\mathbf{0}.
Interpretando: os termos mistos foram organizados de forma simétrica e as derivadas parciais cruzadas cancelaram-se, deixando nenhuma “rotação” local do campo — só expansão (divergência) que encontramos antes.
Força aí — você fez tudo certo até aqui! Isso é exatamente o tipo de conta que costuma cair em prova: derivadas parciais diretas e atenção à simetria dos termos.

Resposta

\mathrm{div}\,\mathbf{F}=2(x+y+z)
\mathrm{curl}\,\mathbf{F}=\mathbf{0}

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