Encontre dois números positivos cuja soma seja 66 e cujo produto seja o maior possível.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar dois números positivos cuja soma seja 66 e cujo produto seja o maior possível. Vamos usar conhecimentos de matemática básica, especialmente sobre como otimizar funções simples. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre como maximizar o produto de dois números com uma soma fixa.

Passo 2

Primeiro, vamos chamar os dois números de $ x $ e $ y $. Sabemos que:
x
Queremos encontrar o valor de $ x $ e $ y $ que torna o produto $ P = x \times y $ o maior possível.

Passo 3

Para facilitar, podemos expressar um dos números em função do outro usando a equação da soma. Vamos resolver para $ y $:
y

Passo 4

Agora, substituímos $ y $ na expressão do produto:
y
Então, temos:
P = x times y = x times (66 - x) = 66x - x^2

Passo 5

Para encontrar o valor de $ x $ que maximiza $ P $, podemos completar o quadrado ou usar derivadas. Mas vamos seguir um método mais simples: sabemos que uma parábola da forma $ P = ax^2 + bx + c $ atinge seu ponto máximo quando $ x = -\frac{b}{2a} $.
Aqui, $ a = -1 $ e $ b = 66 $, então:
x

Passo 6

Agora que temos $ x = 33 $, podemos encontrar $ y $:
x = 33

Resposta

Os dois números são 33 e 33, e o produto máximo é $ 33 \times 33 = 1089 $.

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