Encontre dois números positivos cuja soma seja 66 e cujo produto seja o maior possível.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar dois números positivos cuja soma seja 66 e cujo produto seja o maior possível. Vamos usar conhecimentos de matemática básica, especialmente sobre como otimizar funções simples. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre como maximizar o produto de dois números com uma soma fixa.
Passo 2
Primeiro, vamos chamar os dois números de $ x $ e $ y $. Sabemos que:
Queremos encontrar o valor de $ x $ e $ y $ que torna o produto $ P = x \times y $ o maior possível.
Passo 3
Para facilitar, podemos expressar um dos números em função do outro usando a equação da soma. Vamos resolver para $ y $:
Passo 4
Agora, substituímos $ y $ na expressão do produto:
Então, temos:
Passo 5
Para encontrar o valor de $ x $ que maximiza $ P $, podemos completar o quadrado ou usar derivadas. Mas vamos seguir um método mais simples: sabemos que uma parábola da forma $ P = ax^2 + bx + c $ atinge seu ponto máximo quando $ x = -\frac{b}{2a} $.
Aqui, $ a = -1 $ e $ b = 66 $, então:
Passo 6
Agora que temos $ x = 33 $, podemos encontrar $ y $:
Resposta
Os dois números são 33 e 33, e o produto máximo é $ 33 \times 33 = 1089 $.