Encontre o domínio de cada uma das funções:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o domínio de duas funções matemáticas. O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de x para os quais a função está definida. Para isso, vamos precisar entender como resolver desigualdades envolvendo raízes quadradas e frações. Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar com a primeira função:
f(x) = raiz12 + x - x^2
Para que a função f(x) esteja definida, o que está dentro da raiz quadrada precisa ser maior ou igual a zero, porque não dá pra calcular a raiz quadrada de um número negativo. Então, precisamos resolver a seguinte inequação:
12 + x - x^2 >= 0

Passo 3

Vamos rearranjar a inequação para facilitar:
-x^2 + x + 12 >= 0
Multiplicando todos os termos por -1 (e lembrando que isso inverte o sinal da inequação):
x^2 - x - 12 <= 0

Passo 4

Agora, vamos resolver a inequação quadrática x^2 - x - 12 <= 0 . Primeiro, encontramos as raízes da equação associada x^2 - x - 12 = 0 usando a fórmula de Bhaskara:
x = 1 pm raiz1 + 482 = 1 pm 72
Então, as raízes são:
x = 4 e x = -3

Passo 5

Sabendo que a parábola x^2 - x - 12 abre para cima (coeficiente positivo), a inequação x^2 - x - 12 <= 0 é satisfeita entre as raízes. Portanto, o conjunto solução é:
-3 <= x <= 4

Passo 6

Agora, vamos para a segunda função:
g(x) = xraizx^2 + 5x - 6
Para g(x) estar definida, o denominador não pode ser zero e o que está dentro da raiz quadrada deve ser maior que zero (já que a raiz de zero é permitida, mas aí o denominador seria zero, o que não dá).

Passo 7

Então, precisamos resolver a inequação:
x^2 + 5x - 6 > 0

Passo 8

Vamos encontrar as raízes da equação x^2 + 5x - 6 = 0 usando Bhaskara:
x = -5 pm raiz25 + 242 = -5 pm 72
As raízes são:
x = 1 e x = -6

Passo 9

Como a parábola x^2 + 5x - 6 abre para cima (coeficiente positivo), a inequação x^2 + 5x - 6 > 0 é satisfeita fora das raízes. Ou seja:
x < -6 ou x > 1

Resposta

Portanto, os domínios das funções são:
Domínio de f(x): , [-3, , 4] í
Domínio de g(x): , x < -6 ou x > 1 í

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