Encontre o domínio de cada uma das funções:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o domínio de duas funções matemáticas. O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida. Para isso, vamos precisar entender como resolver desigualdades envolvendo raízes quadradas e frações. Vamos lá!
Passo 2
Vamos começar com a primeira função:
Para que a função
esteja definida, o que está dentro da raiz quadrada precisa ser maior ou igual a zero, porque não dá pra calcular a raiz quadrada de um número negativo. Então, precisamos resolver a seguinte inequação:
Passo 3
Vamos rearranjar a inequação para facilitar:
Multiplicando todos os termos por -1 (e lembrando que isso inverte o sinal da inequação):
Passo 4
Agora, vamos resolver a inequação quadrática
. Primeiro, encontramos as raízes da equação associada
usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são:
Passo 5
Sabendo que a parábola
abre para cima (coeficiente positivo), a inequação
é satisfeita entre as raízes. Portanto, o conjunto solução é:
Passo 6
Agora, vamos para a segunda função:
Para
estar definida, o denominador não pode ser zero e o que está dentro da raiz quadrada deve ser maior que zero (já que a raiz de zero é permitida, mas aí o denominador seria zero, o que não dá).
Passo 7
Então, precisamos resolver a inequação:
Passo 8
Vamos encontrar as raízes da equação
usando Bhaskara:
As raízes são:
Passo 9
Como a parábola
abre para cima (coeficiente positivo), a inequação
é satisfeita fora das raízes. Ou seja:
Resposta
Portanto, os domínios das funções são: