Encontre o domínio e esboce o gráfico da função.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas:
- Determinar o domínio da função.
- Esboçar o gráfico da função (ou seja, identificar a forma da curva e alguns pontos chave para desenhar).
Informações fornecidas: a expressão explícita da função é
. Nada mais foi dado.
Passo 2
Determinar o domínio: aqui a função é um polinômio (soma de potências de
com coeficientes reais). Polinômios estão definidos para qualquer valor real de
. Logo, o domínio é o conjunto de todos os números reais.
Resposta do domínio (já apresentada de forma direta):
Passo 3
Procurar as raízes (interseções com o eixo
, ou seja, pontos onde
). Isso ajuda muito no esboço.
Coloco
e fatoro:
Portanto as soluções são
e
. Os pontos de interseção com o eixo
(eixo
) também são obtidos por
, daí
. Assim os zeros são os pontos
e
.
Passo 4
Encontrar o vértice da parábola (ponto mínimo ou máximo). Para
com
, o vértice tem abscissa
Aqui
e
, logo
Passo 5
Calcular a ordenada do vértice
. Substituo
em
:
Portanto o vértice é o ponto
.
Passo 6
Verificação por completar o quadrado (útil para entender a forma):
Isso mostra diretamente que a função é
, ou seja, uma parábola deslocada para a direita em
unidades e para baixo em
unidades. Confirma o vértice
.
Passo 7
Concavidade e mínimo/máximo: como
, a parábola abre para cima, logo o vértice é um mínimo absoluto. Isso implica que o valor mínimo de
é
.
Daí a imagem (ou contradomínio relevante para o esboço):
Passo 8
Montar alguns pontos simétricos para esboçar o gráfico (útil na hora de desenhar à mão). A parábola é simétrica em relação à reta
. Calculo valores para
:
Note que
coincide para
, mostrando a simetria.
Passo 9
Como esboçar passo a passo (se for desenhar na prova, sem calculadora):
- Faça eixos
(horizontal) e (vertical). - Marque o vértice
. - Marque as raízes
e . - Marque mais alguns pontos calculados (por exemplo
, , , , , ) para ter forma. - Desenhe uma curva suave em forma de U passando por esses pontos, com eixo de simetria a reta
e abrindo para cima. Use setas nas extremidades para indicar que a parábola continua para quando .
Passo 10
Interpretações úteis para a prova (dicas rápidas):
- Sempre que vir
, tente completar o quadrado: isso dá forma canônica que mostra imediatamente vértice e deslocamentos. - Fatorar
dá as raízes rápido. - Lembre: coeficiente
significa parábola com mínimo; significa máximo. - Eixo de simetria tem equação
.
Resposta
Domínio:
Esboço do gráfico: parábola com vértice em , abre para cima, raízes em
e
; imagem
.
Esboço do gráfico: parábola com vértice em