Encontre o domínio e esboce o gráfico da função.
f(t)=t^{2}-6 t

Passo 1

O enunciado dá a função f(t)=t^{2}-6t e pede duas coisas:
  • Determinar o domínio da função.
  • Esboçar o gráfico da função (ou seja, identificar a forma da curva e alguns pontos chave para desenhar).
Informações fornecidas: a expressão explícita da função é f(t)=t^{2}-6t. Nada mais foi dado.

Passo 2

Determinar o domínio: aqui a função é um polinômio (soma de potências de t com coeficientes reais). Polinômios estão definidos para qualquer valor real de t. Logo, o domínio é o conjunto de todos os números reais.
Resposta do domínio (já apresentada de forma direta):
\text{Domínio}=\mathbb{R}=\left(-\infty,\infty\right).í

Passo 3

Procurar as raízes (interseções com o eixo t, ou seja, pontos onde f(t)=0). Isso ajuda muito no esboço.
Coloco f(t)=0 e fatoro:
t^{2}-6t=0 \quad\Longrightarrow\quad t(t-6)=0.
Portanto as soluções são t=0 e t=6. Os pontos de interseção com o eixo y (eixo f) também são obtidos por t=0, daí f(0)=0. Assim os zeros são os pontos (0,0) e (6,0).

Passo 4

Encontrar o vértice da parábola (ponto mínimo ou máximo). Para f(t)=at^{2}+bt+c com a\neq0, o vértice tem abscissa
t_v=-\frac{b}{2a}.
Aqui a=1 e b=-6, logo
t_v=-\frac{-6}{2\cdot1}=\frac{6}{2}=3.

Passo 5

Calcular a ordenada do vértice f(t_v). Substituo t=3 em f:
f(3)=3^{2}-6\cdot3=9-18=-9.
Portanto o vértice é o ponto \bigl(3,-9\bigr).

Passo 6

Verificação por completar o quadrado (útil para entender a forma):
t^{2}-6t=(t^{2}-6t+9)-9=(t-3)^{2}-9.
Isso mostra diretamente que a função é (t-3)^{2}-9, ou seja, uma parábola deslocada para a direita em 3 unidades e para baixo em 9 unidades. Confirma o vértice \bigl(3,-9\bigr).

Passo 7

Concavidade e mínimo/máximo: como a=1>0, a parábola abre para cima, logo o vértice é um mínimo absoluto. Isso implica que o valor mínimo de f é -9.
Daí a imagem (ou contradomínio relevante para o esboço):
\text{Imagem (range)} = \left[-9,\infty\right).

Passo 8

Montar alguns pontos simétricos para esboçar o gráfico (útil na hora de desenhar à mão). A parábola é simétrica em relação à reta t=3. Calculo valores para t= -1,0,1,2,3,4,5,6,7:
\begin{aligned} f(-1)&=(-1)^{2}-6(-1)=1+6=7,\\\ f(0)&=0,\\\ f(1)&=1-6=-5,\\\ f(2)&=4-12=-8,\\\ f(3)&=-9,\\\ f(4)&=16-24=-8,\\\ f(5)&=25-30=-5,\\\ f(6)&=0,\\\ f(7)&=49-42=7. \end{aligned}
Note que f(3\pm k) coincide para k=1,2,3, mostrando a simetria.

Passo 9

Como esboçar passo a passo (se for desenhar na prova, sem calculadora):
  1. Faça eixos t (horizontal) e f (vertical).
  2. Marque o vértice \bigl(3,-9\bigr).
  3. Marque as raízes (0,0) e (6,0).
  4. Marque mais alguns pontos calculados (por exemplo (2,-8), (4,-8), (1,-5), (5,-5), (-1,7), (7,7)) para ter forma.
  5. Desenhe uma curva suave em forma de U passando por esses pontos, com eixo de simetria a reta t=3 e abrindo para cima. Use setas nas extremidades para indicar que a parábola continua para f\to\infty quando t\to\pm\infty.

Passo 10

Interpretações úteis para a prova (dicas rápidas):
  • Sempre que vir t^{2}-6t, tente completar o quadrado: isso dá forma canônica (t-3)^{2}-9 que mostra imediatamente vértice e deslocamentos.
  • Fatorar t^{2}-6t=t(t-6) dá as raízes rápido.
  • Lembre: coeficiente a>0 significa parábola com mínimo; a<0 significa máximo.
  • Eixo de simetria tem equação t=-\dfrac{b}{2a}.

Resposta

Domínio: \mathbb{R}=\left(-\infty,\infty\right)
Esboço do gráfico: parábola com vértice em \bigl(3,-9\bigr), abre para cima, raízes em (0,0) e (6,0); imagem \left[-9,\infty\right).

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