Encontre o domínio e esboce o gráfico da função.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas:
- Encontrar o domínio da função.
- Esboçar (desenhar) o gráfico da função.
Informações relevantes fornecidas:
- A expressão da função é simplesmente
. - Não há nenhuma outra restrição explícita sobre
no enunciado (nenhuma raiz, divisão por variável, log, etc.).
Passo 2
Entendendo o que é domínio e o que é gráfico (aula rápida e prática).
- Domínio de uma função: é o conjunto de todos os valores de
para os quais a expressão de está bem definida. Em outras palavras, “quais posso colocar na fórmula sem dar problema”. - Gráfico: é o conjunto de pontos
no plano cartesiano; desenhar o gráfico significa marcar esses pontos e ligar de forma adequada.
Exemplo curto para fixar: se tivéssemos
, não poderia pegar
no domínio porque a raiz quadrada de número negativo não é real. Aqui vamos aplicar essa ideia à função
.
Passo 3
Decidindo o domínio de
.
- A expressão
não contém raiz quadrada, divisão por , logaritmo nem qualquer operação que imponha restrição a . - Isso significa que, para qualquer número real
, a expressão está bem definida (simplesmente devolve ).
Portanto o domínio é todo o conjunto dos números reais:
Passo 4
Determinar a imagem (contraparte do gráfico): o conjunto de valores que
assume.
- Como
é sempre igual a para qualquer , a função só produz o valor . - Logo a imagem (ou contradomínio efetivo) é o conjunto com um único elemento:
Passo 5
Pontos notáveis que ajudam no esboço do gráfico.
- Interseção com o eixo
(quando ): . Assim o ponto está no gráfico. - Interseção com o eixo
: resolver dá , impossível. Logo não há interseção com o eixo . - Alguns pontos auxiliares (escolha qualquer
, o valor será ):
Colocar esses pontos no plano mostra que todos estão alinhados horizontalmente.
Passo 6
Propriedades úteis (para interpretar e justificar o desenho).
- A função é contínua em todo
porque não há quebras nem indefinições. - A derivada é zero em todo lugar:
para todo . Intuição: não sobe nem desce, é constante. - É uma função par, pois
. - É constante e, por isso, simultaneamente não decrescente e não crescente (essencialmente “nem sobe nem desce”).
Passo 7
Como esboçar o gráfico passo a passo (para fazer na prova, sem régua precisa):
- Desenhe os eixos coordenados
e e marque uma escala conveniente no eixo (por exemplo, 1 em cada divisão). - Localize a linha horizontal correspondendo a
: a altura no eixo . - Marque alguns pontos como
para garantir que estão alinhados. - Trace uma linha reta horizontal que passe por esses pontos, estendendo-a para a esquerda e para a direita. Essa é a curva inteira do gráfico.
- Indique com uma bolinha ou etiqueta que a linha não tem fim nas duas direções (ou desenhe setas nas pontas da linha).
Dica prática: o gráfico é simplesmente a reta horizontal de equação
.
Passo 8
Resumo numérico rápido (tabela de valores para justificar o desenho)
Todos os pontos caem sobre a mesma linha horizontal.
Passo 9
Observações finais motivadoras
- Essa é daquelas questões que parecem óbvias, mas é importante treinar: identificar rapidamente que não há restrição no domínio e que o gráfico é uma linha horizontal.
- Na prova, faça a tabela com 2–3 pontos e desenhe a linha; isso é suficiente e rápido.
Resposta
Domínio:
Gráfico: reta horizontal (linha horizontal que passa por
, sem interseção com o eixo
).
Gráfico: reta horizontal