Encontre o domínio da função.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar o domínio da função
Informações dadas importantes:
- A função tem uma raiz de índice 4 (quarta raiz) de
. - Essa raiz está no denominador de uma fração.
Passo 2
Regras que vamos usar (mini-aula calma e direta):
- Para uma raiz de índice par (como a quarta raiz), o radicando precisa ser maior ou igual a zero para que a raiz seja um número real. Ou seja, para
é necessário . - Para um denominador de fração, não se pode ter zero (porque
não existe). Assim, se a raiz estiver no denominador, o valor da raiz não pode ser zero; isto implica que o radicando não pode ser igual a zero.
Juntando as duas condições: o radicando deve satisfazer
Isto é, precisa ser estritamente positivo.
Passo 3
Resolver a desigualdade
.
Primeiro fatoramos o polinômio:
Primeiro fatoramos o polinômio:
Logo a desigualdade fica
Passo 4
Analisar o sinal do produto
.
- Zeros do produto (pontos críticos) são
e . - Essas raízes dividem a reta em três intervalos:
, e .
Vamos testar um valor em cada intervalo para ver onde o produto é positivo (explicação: se o produto de dois fatores tem sinais iguais o produto é positivo; se têm sinais opostos é negativo).
Escolhendo pontos:
- Para
(no intervalo ): Então o produto é positivo em . - Para
(no intervalo ): Então o produto é negativo em . - Para
(no intervalo ): Então o produto é positivo em .
Portanto a desigualdade
é satisfeita quando
ou
.
Observação alternativa (mais teórica): a parábola
abre para cima, logo é negativa entre suas raízes e positiva fora delas — mesmo resultado.
Passo 5
Verificação das bordas: em
ou
o radicando é zero, então
e o denominador seria zero — ponto inválido. Por isso os pontos
e
devem ser excluídos do domínio.
Conclusão: o domínio é a união dos intervalos onde
, ou seja
.