Encontre o domínio da função.
h(x)=\frac{1}{\sqrt[4]{x^{2}-5 x}}

Passo 1

O enunciado pede: encontrar o domínio da função
h(x)=\frac{1}{\sqrt[4]{x^{2}-5x}}.
Informações dadas importantes:
  • A função tem uma raiz de índice 4 (quarta raiz) de x^{2}-5x.
  • Essa raiz está no denominador de uma fração.

Passo 2

Regras que vamos usar (mini-aula calma e direta):
  • Para uma raiz de índice par (como a quarta raiz), o radicando precisa ser maior ou igual a zero para que a raiz seja um número real. Ou seja, para \sqrt[4]{A} é necessário A \ge 0.
  • Para um denominador de fração, não se pode ter zero (porque \dfrac{1}{0} não existe). Assim, se a raiz estiver no denominador, o valor da raiz não pode ser zero; isto implica que o radicando não pode ser igual a zero.
    Juntando as duas condições: o radicando deve satisfazer
x^{2}-5x>0.
Isto é, precisa ser estritamente positivo.

Passo 3

Resolver a desigualdade \,x^{2}-5x>0\,.
Primeiro fatoramos o polinômio:
x^{2}-5x = x(x-5).
Logo a desigualdade fica
x(x-5)>0.

Passo 4

Analisar o sinal do produto x(x-5).
  • Zeros do produto (pontos críticos) são x=0 e x=5.
  • Essas raízes dividem a reta em três intervalos: (-\infty,0), (0,5) e (5,\infty).
    Vamos testar um valor em cada intervalo para ver onde o produto é positivo (explicação: se o produto de dois fatores tem sinais iguais o produto é positivo; se têm sinais opostos é negativo).
Escolhendo pontos:
  • Para x=-1 (no intervalo (-\infty,0)): x(x-5)=(-1)((-1)-5)=(-1)(-6)=6>0.Então o produto é positivo em (-\infty,0).
  • Para x=1 (no intervalo (0,5)): x(x-5)=(1)(1-5)=1\cdot(-4)=-4<0.Então o produto é negativo em (0,5).
  • Para x=6 (no intervalo (5,\infty)): x(x-5)=(6)(6-5)=6\cdot1=6>0.Então o produto é positivo em (5,\infty).
Portanto a desigualdade \,x(x-5)>0\, é satisfeita quando x<0 ou x>5.
Observação alternativa (mais teórica): a parábola x^2-5x abre para cima, logo é negativa entre suas raízes e positiva fora delas — mesmo resultado.

Passo 5

Verificação das bordas: em x=0 ou x=5 o radicando é zero, então \sqrt[4]{x^{2}-5x}=0 e o denominador seria zero — ponto inválido. Por isso os pontos 0 e 5 devem ser excluídos do domínio.
Conclusão: o domínio é a união dos intervalos onde x^2-5x>0, ou seja (-\infty,0)\cup(5,\infty).

Resposta

(-\infty,0)\cup(5,\infty)

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