Encontre o domínio da função.
f(t)=\sqrt{t}+\sqrt[3]{t}

Passo 1

O enunciado dá a função f e pede o domínio dela. Informações do enunciado:
  • A função é f(t)=\sqrt{t}+\sqrt[3]{t}.
  • A pergunta explícita: “Encontre o domínio da função.”

Passo 2

O que é “domínio” — explica num jeitinho simples: o domínio de uma função é o conjunto de valores de entrada (aqui valores de t) para os quais a expressão da função faz sentido (isto é, pode ser calculada como número real). Em outras palavras, precisamos achar todos os t reais que tornam cada parte de f(t) bem-definida como número real.

Passo 3

Analisar cada parcela separadamente — porque a soma de duas funções só faz sentido onde ambas são definidas.
  • Primeiro termo: \sqrt{t}. A raiz quadrada real está definida apenas para argumentos não negativos. Então, para \sqrt{t} ser um número real é necessário e suficiente que t\ge 0.
    • Exemplo rápido: \sqrt{4}=2 funciona; \sqrt{0}=0 funciona; \sqrt{-1} não é um número real (não vale no domínio real).
  • Segundo termo: \sqrt[3]{t} (raiz cúbica). A raiz cúbica de ordem ímpar está definida para todo número real: tanto números positivos quanto negativos têm raiz cúbica real. Por exemplo, \sqrt[3]{8}=2 e \sqrt[3]{-8}=-2. Então \sqrt[3]{t} está definido para todo t\in\mathbb{R}.

Passo 4

Interseção das condições — agora juntamos as exigências das duas parcelas:
  • Para \sqrt{t} precisamos de t\ge 0.
  • Para \sqrt[3]{t} não há restrição (qualquer t serve).
    A soma existe somente onde ambas existem simultaneamente, ou seja, onde t satisfaz todas as condições. A interseção de \{t\mid t\ge 0\} com \mathbb{R} é simplesmente \{t\mid t\ge 0\}.

Passo 5

Concluir e dar a forma padrão do domínio. Em linguagem de intervalo, o conjunto de todos os t reais que servem é o intervalo que começa em 0 e vai até o infinito, incluindo 0.

Resposta

[0,\infty)

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