Encontre o domínio e esboce o gráfico da função.
g(x)=2+\log x

Passo 1

O enunciado nos dá a função g(x)=2+\log x e pede duas coisas:
  • Determinar o domínio da função.
  • Esboçar (desenhar) o gráfico da função.
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão da função é g(x)=2+\log x.
  • O enunciado não especificou a base do logaritmo; portanto, o símbolo \log pode representar qualquer \log_b com b>0 e b\neq1.
  • Pedem o domínio (os x para os quais a função está definida) e um esboço do gráfico.

Passo 2

Entendendo onde o logaritmo está definido (a regra básica).
  • Definição importante: para qualquer base b com b>0 e b\neq1, a função \log_b x está definida somente para argumentos positivos, isto é, apenas para x>0.
  • Aqui o argumento do logaritmo é x. Logo a condição para g(x) existir é simplesmente x>0.
Portanto, o domínio da função é o conjunto de todos os x positivos:
\text{Domínio}=\{x\in\mathbb{R}\mid x>0\}=(0,\infty).í

Passo 3

Comportamento básico e assíntota vertical.
  • Propriedade do logaritmo perto de 0: \displaystyle\lim_{x\to 0^+}\log_b x=-\infty. Isso significa que a curva “cai” sem limite para -\infty quando x se aproxima de 0 pela direita.
  • Assim, a função g(x)=2+\log_b x tem uma assíntota vertical em x=0.
  • Para x\to\infty vale \log_b x\to\infty, logo g(x)\to\infty quando x\to\infty. A subida é lenta (característica do logaritmo).

Passo 4

Transformação do gráfico: como obter g(x) a partir de \log x.
  • A função g(x) é a função \log_b x deslocada verticalmente para cima em 2 unidades. Em termos de transformações: se y=\log_b x tem gráfico C, então y=2+\log_b x é o gráfico C deslocado 2 unidades para cima.
  • Consequências práticas dessa translação:
    • A assíntota vertical continua sendo x=0.
    • O ponto onde \log_b x=0 (isto é, x=1) passa de (1,0) para (1,2). Logo a curva passa obrigatoriamente por (1,2).
    • O intercepto com o eixo x (caso exista) satisfaz 2+\log_b x=0. Resolvendo: \log_b x=-2 \quad\Longrightarrow\quad x=b^{-2}.Assim, o zero da função é x=b^{-2}.
      Observações numéricas dependendo da base:
      • Se \log for o logaritmo natural ( \log_e ou \ln), então o zero é x=e^{-2}\approx0{,}1353.
      • Se \log for de base 10, então o zero é x=10^{-2}=0{,}01.
    • A função é monótona: se a base b>1, \log_b x (e portanto g) é crescente; se 0<b<1, \log_b x é decrescente. Na prática, em cálculo básico costuma-se assumir base e ou 10, ambas com b>1, então a curva é crescente.

Passo 5

Como esboçar o gráfico passo a passo (receita para fazer na prova, sem calculadora):
  1. Desenhe os eixos x e y. Marque a assíntota vertical em x=0 (traço pontilhado).
  2. Marque o ponto (1,2) — pois \log(1)=0 e g(1)=2.
  3. Ache o zero x=b^{-2}. Se não souber a base, deixe marcado qualitativamente à direita de 0 (porque b^{-2}>0). Se assumir \ln, marque aproximadamente em x\approx0{,}135.
  4. Escolha mais um ponto para dar forma ao esboço:
    • Para base e: g(e)=2+\ln e=2+1=3, então marque o ponto (e,3) (lembrar que e\approx2{,}718).
    • Para bases em geral, pode usar pontos x=b^k; por exemplo x=b^2 g(b^2)=2+\log_b(b^2)=2+2=4.
  5. Ligue os pontos com uma curva suave que tende para -\infty quando se aproxima de x=0^+ e cresce lentamente para +\infty quando x\to\infty. A curva passa por (1,2), cruza o eixo x em x=b^{-2} e não existe para x\le0.

Passo 6

Exemplos numéricos rápidos (para fixar a ideia, assumindo \log=\ln):
  • g(1)=2+\ln 1=2+0=2 → ponto (1,2).
  • g(e)=2+\ln e=2+1=3 → ponto aproximadamente (2{,}718,3).
  • g(e^{-2})=2+\ln(e^{-2})=2-2=0 → zero em x\approx0{,}1353.
  • Para x muito pequeno positivo, ex.: x=0{,}01, \ln(0{,}01)\approx-4{,}605 então g(0{,}01)\approx-2{,}605 (muito negativa, mostra a queda próxima a x=0).

Resposta

Domínio: (0,\infty)
Esboço do gráfico: curva logarítmica com assíntota vertical em x=0, deslocada 2 unidades para cima; passa por (1,2) e tem zero em x=b^{-2} (se \log=\ln, zero em x=e^{-2}\approx0{,}1353).

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