Encontre o domínio e esboce o gráfico da função.
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede duas coisas:
- Determinar o domínio da função.
- Esboçar (desenhar) o gráfico da função.
Informações relevantes fornecidas:
- A expressão da função é
. - O enunciado não especificou a base do logaritmo; portanto, o símbolo
pode representar qualquer com e . - Pedem o domínio (os
para os quais a função está definida) e um esboço do gráfico.
Passo 2
Entendendo onde o logaritmo está definido (a regra básica).
- Definição importante: para qualquer base
com e , a função está definida somente para argumentos positivos, isto é, apenas para . - Aqui o argumento do logaritmo é
. Logo a condição para existir é simplesmente .
Portanto, o domínio da função é o conjunto de todos os
positivos:
Passo 3
Comportamento básico e assíntota vertical.
- Propriedade do logaritmo perto de
: . Isso significa que a curva “cai” sem limite para quando se aproxima de pela direita. - Assim, a função
tem uma assíntota vertical em . - Para
vale , logo quando . A subida é lenta (característica do logaritmo).
Passo 4
Transformação do gráfico: como obter
a partir de
.
- A função
é a função deslocada verticalmente para cima em unidades. Em termos de transformações: se tem gráfico , então é o gráfico deslocado 2 unidades para cima. - Consequências práticas dessa translação:
- A assíntota vertical continua sendo
. - O ponto onde
(isto é, ) passa de para . Logo a curva passa obrigatoriamente por . - O intercepto com o eixo
(caso exista) satisfaz . Resolvendo: Assim, o zero da função é .
Observações numéricas dependendo da base:- Se
for o logaritmo natural ( ou ), então o zero é . - Se
for de base , então o zero é .
- Se
- A função é monótona: se a base
, (e portanto ) é crescente; se , é decrescente. Na prática, em cálculo básico costuma-se assumir base ou , ambas com , então a curva é crescente.
- A assíntota vertical continua sendo
Passo 5
Como esboçar o gráfico passo a passo (receita para fazer na prova, sem calculadora):
- Desenhe os eixos
e . Marque a assíntota vertical em (traço pontilhado). - Marque o ponto
— pois e . - Ache o zero
. Se não souber a base, deixe marcado qualitativamente à direita de (porque ). Se assumir , marque aproximadamente em . - Escolha mais um ponto para dar forma ao esboço:
- Para base
: , então marque o ponto (lembrar que ). - Para bases em geral, pode usar pontos
; por exemplo dá .
- Para base
- Ligue os pontos com uma curva suave que tende para
quando se aproxima de e cresce lentamente para quando . A curva passa por , cruza o eixo em e não existe para .
Passo 6
Exemplos numéricos rápidos (para fixar a ideia, assumindo
):
-
→ ponto . -
→ ponto aproximadamente . -
→ zero em . - Para
muito pequeno positivo, ex.: , então (muito negativa, mostra a queda próxima a ).
Resposta
Domínio:
Esboço do gráfico: curva logarítmica com assíntota vertical em , deslocada 2 unidades para cima; passa por
e tem zero em
(se
, zero em
).
Esboço do gráfico: curva logarítmica com assíntota vertical em