Encontre o domínio e esboce o gráfico da função.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Encontrar o domínio da função.
- Esboçar (desenhar) o gráfico da função.
A função dada é
. Não há outras informações no enunciado.
Passo 2
O que é domínio e como identificá-lo aqui.
O domínio de uma função é o conjunto de valores de
para os quais a expressão que define a função faz sentido (está bem definida). Regras rápidas que uso para identificar domínio:
- Se a função for um polinômio (como
), ela está definida para todo . - Problemas aparecem quando há divisão por zero, raízes pares de expressão negativa, logaritmos de argumentos não positivos, etc. Aqui nada disso ocorre.
A função
é um polinômio (grau 1), portanto está definida para todo número real. Logo o domínio é todo o conjunto dos reais.
Passo 3
Anotações úteis sobre a função linear
.
- Forma geral de uma reta:
, onde é a inclinação (declive, slope) e é a ordenada na origem (intercepto em ). - Para
temos e . - Interpretação de
: se aumenta em , diminui em . A reta é descendente (estritamente decrescente). - O intercepto em
é , então a reta passa pela origem . Assim o intercepto em também é .
Passo 4
Como esboçar a reta na prática (passo a passo que dá pra fazer sem régua precisa).
- Basta conhecer dois pontos distintos para traçar a reta, mas é bom calcular alguns pontos para confirmar a inclinação.
- Calculo alguns pontos simples:
- Esses pontos são
. Note que ao andar 1 unidade à direita em o valor de baixa 2 unidades: isso confirma .
Passo 5
Desenho do gráfico (como fazer no papel ou mentalmente).
- Marque os pontos calculados no plano cartesiano:
. - Ligue-os com uma linha reta e estenda a linha para ambos os lados com setas nas extremidades (reta infinita).
- A reta passa pela origem e desce da esquerda para a direita (porque
). - O gráfico é uma reta infinita, contínua e sem quebras.
Passo 6
Propriedades finais importantes que vale anotar para a prova.
- Domínio: todos os reais,
. - Contradomínio/Imagem (range): todos os reais, porque reta com declive não nulo atinge todos os valores de
. - Monotonicidade: função estritamente decrescente em
(pois ). - Continuidade e diferenciabilidade: a função é contínua e diferenciável em todo
; derivada constante.
Resposta
Domínio:
Esboço do gráfico: reta passando por com declive
(ex.: pontos
); reta decrescente estendida em ambas as direções.
Esboço do gráfico: reta passando por