Encontre o domínio e esboce o gráfico da função.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas:
- Encontrar o domínio da função.
- Esboçar (desenhar/descrição do) gráfico de
.
Informações relevantes que temos do enunciado:
- A função envolve valor absoluto
. - A expressão é
, ou seja, uma constante menos o módulo de .
Passo 2
Entender o valor absoluto e reescrever a função de forma útil.
Definição do valor absoluto (explicação bem direta):
- Para qualquer número real
Isso quer dizer que
até
na reta real, sempre não negativa.
Usando essa definição, reescrevemos
em forma piecewise (peça por peça):
Aqui cada expressão é uma reta (função afim) válida em seu intervalo.]
Passo 3
Determinar o domínio (passo didático).
O domínio é o conjunto de todos os
onde a expressão está bem definida. Operações envolvidas: valor absoluto, subtração com constante. Todas essas operações estão definidas para qualquer
. Portanto o domínio é todo o conjunto dos números reais:
Explicação intuitiva: não há raízes pares, divisões por zero nem logaritmos;
existe para qualquer real.
Passo 4
Encontrar pontos-chave do gráfico (para esboçar sem calcular infinitas coordenadas).
- Valor no vértice (origem do “V”):
. Então ponto . - Interseções com o eixo
(onde ): resolver . Então pontos e . - Alguns pontos auxiliares para traçar as retas:
- Para
: → ponto . - Para
: → ponto . - Para
: → ponto . - Para
: → ponto .
- Para
Esses pontos confirmam a forma linear das duas ramificações.
Passo 5
Analisar inclinações e comportamento das duas ramos (para desenhar corretamente).
Das expressões piecewise:
- Para
temos , que é uma reta de inclinação (desce à direita). - Para
temos , que é uma reta de inclinação (sobe à direita — ou desce à esquerda).
As duas retas se encontram no vértice
. Como as inclinações têm sinais opostos e módulos iguais, o gráfico é um “V” invertido (forma de teto, como um ^), com o ponto mais alto em
. Para
a função tende a
, então os ramos continuam indefinidamente para baixo.
Também é útil dar a imagem (range):
Isto porque o valor máximo é
(em
) e não há limite inferior.
Passo 6
Como esboçar passo a passo (instruções que dá para fazer na prova sem calculadora):
- Desenhe os eixos
e . - Marque o vértice
. - Marque os pontos
e . - Trace a reta que passa por
e estendendo-a para a direita seguindo a inclinação (equação para ). - Trace a reta que passa por
e estendendo-a para a esquerda seguindo a inclinação (equação para ). - Não há quebras: o gráfico é contínuo em todo
.
Se quiser um esboço mental: é um “chapéu” com topo em
no eixo
, cortando o eixo
em
.
Resposta
Domínio:
Esboço: gráfico formado pelas retas para
e
para
, com vértice em
e interseções com o eixo
em
e
.
Esboço: gráfico formado pelas retas