Encontre o domínio e esboce o gráfico da função.
h(x)=2-|x|

Passo 1

O enunciado dá a função h(x)=2-|x| e pede duas coisas:
  • Encontrar o domínio da função.
  • Esboçar (desenhar/descrição do) gráfico de h.
Informações relevantes que temos do enunciado:
  • A função envolve valor absoluto |x|.
  • A expressão é 2-|x|, ou seja, uma constante 2 menos o módulo de x.

Passo 2

Entender o valor absoluto e reescrever a função de forma útil.
Definição do valor absoluto (explicação bem direta):
  • Para qualquer número real x\) vale \[|x| = \begin{cases} x, & \text{se } x\ge 0,\\[4pt] - x, & \text{se } x<0. \end{cases}
Isso quer dizer que |x|\] devolve a distância de \(x até 0 na reta real, sempre não negativa.
Usando essa definição, reescrevemos h(x) em forma piecewise (peça por peça):
h(x)=2-|x|=\begin{cases} 2-x, & \text{se } x\ge 0,\\[4pt] 2+ x, & \text{se } x<0. \end{cases}
Aqui cada expressão é uma reta (função afim) válida em seu intervalo.]

Passo 3

Determinar o domínio (passo didático).
O domínio é o conjunto de todos os x onde a expressão está bem definida. Operações envolvidas: valor absoluto, subtração com constante. Todas essas operações estão definidas para qualquer x\in\mathbb{R}. Portanto o domínio é todo o conjunto dos números reais:
\text{Domínio}=\mathbb{R}.í
Explicação intuitiva: não há raízes pares, divisões por zero nem logaritmos; |x| existe para qualquer real.

Passo 4

Encontrar pontos-chave do gráfico (para esboçar sem calcular infinitas coordenadas).
  • Valor no vértice (origem do “V”): h(0)=2-|0|=2. Então ponto (0,2).
  • Interseções com o eixo x (onde h(x)=0): resolver 2-|x|=0\Rightarrow |x|=2\Rightarrow x=\pm 2. Então pontos (-2,0) e (2,0).
  • Alguns pontos auxiliares para traçar as retas:
    • Para x=1: h(1)=2-|1|=2-1=1 → ponto (1,1).
    • Para x=3: h(3)=2-3=-1 → ponto (3,-1).
    • Para x=-1: h(-1)=2-|{-1}|=2-1=1 → ponto (-1,1).
    • Para x=-3: h(-3)=2-3=-1 → ponto (-3,-1).
Esses pontos confirmam a forma linear das duas ramificações.

Passo 5

Analisar inclinações e comportamento das duas ramos (para desenhar corretamente).
Das expressões piecewise:
  • Para x\ge 0 temos h(x)=2-x, que é uma reta de inclinação -1 (desce à direita).
  • Para x<0 temos h(x)=2+x, que é uma reta de inclinação +1 (sobe à direita — ou desce à esquerda).
As duas retas se encontram no vértice (0,2). Como as inclinações têm sinais opostos e módulos iguais, o gráfico é um “V” invertido (forma de teto, como um ^), com o ponto mais alto em (0,2). Para x\to\pm\infty a função tende a -\infty, então os ramos continuam indefinidamente para baixo.
Também é útil dar a imagem (range):
\text{Imagem} = (-\infty,\,2].
Isto porque o valor máximo é 2 (em x=0) e não há limite inferior.

Passo 6

Como esboçar passo a passo (instruções que dá para fazer na prova sem calculadora):
  1. Desenhe os eixos x e y.
  2. Marque o vértice (0,2).
  3. Marque os pontos (-2,0) e (2,0).
  4. Trace a reta que passa por (0,2) e (2,0) estendendo-a para a direita seguindo a inclinação -1 (equação y=2-x para x\ge0).
  5. Trace a reta que passa por (0,2) e (-2,0) estendendo-a para a esquerda seguindo a inclinação +1 (equação y=2+x para x<0).
  6. Não há quebras: o gráfico é contínuo em todo \mathbb{R}.
Se quiser um esboço mental: é um “chapéu” com topo em 2 no eixo y, cortando o eixo x em \pm 2.

Resposta

Domínio: \mathbb{R}
Esboço: gráfico formado pelas retas \,h(x)=2+x para x<0 e \,h(x)=2-x para x\ge0, com vértice em (0,2) e interseções com o eixo x em (-2,0) e (2,0).

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