Encontre o domínio e esboce o gráfico da função.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas:
- Encontrar o domínio da função.
- Esboçar o gráfico da função.
Informações importantes fornecidas pelo enunciado:
- A expressão da função é
. - Não há outras restrições explícitas (como raízes, denominadores, logaritmos, etc.) no enunciado.
Passo 2
Entender onde a expressão
está definida (para decidir o domínio).
Explicação didática: a função exponencial
está definida para todo
. Uma forma de ver isso é lembrar que
, e a função exponencial
é definida para todo real
. Assim não há nenhuma restrição sobre
.
Conclusão do passo: o domínio de
é todo o conjunto dos números reais.
Passo 3
Apresentar o domínio de forma direta.
Conclusão formal: o domínio é
.
(Dica rápida: sempre que a função é combinação de polinomiais e exponenciais sem raízes/ln/denominadores complicados, o domínio costuma ser
.)
Passo 4
Determinar a imagem (faixa de valores possíveis) — isso ajuda a esboçar o gráfico.
Raciocínio passo a passo:
- Para todo
tem-se . - Então
para todo . - Conforme
, , logo . - Conforme
, , logo .
Conclusão:
toma todos os valores menores que
, portanto a imagem (intervalo) é
. Observe que
nunca é atingida porque
sempre.
Passo 5
Calcular interceptos importantes (pontos que ajudam a desenhar o gráfico).
- Intercepção com o eixo
(tomar ):
Logo há um ponto
.
- Intercepção com o eixo
(resolver ):
Logo a raiz é
.
Passo 6
Verificar monotonicidade (se a curva sobe ou desce) e calcular derivada para justificar.
- Derivada: a derivada de
é . Assim
- Como
e , temos para todo .
Conclusão:
é estritamente decrescente em todo o seu domínio. Isso significa que, ao aumentar
,
sempre diminui — comportamento útil para o esboço.
Passo 7
Determinar assíntotas e comportamento extremo (já antecipado nos limites).
- Há uma assíntota horizontal quando
: . Portanto é assíntota horizontal à esquerda. - Não há assíntota horizontal para
(a função vai para ). - Não há assíntota vertical, pois domínio é todo
.
Passo 8
Instruções práticas e passo a passo para esboçar o gráfico na prova (sem calculadora):
- Desenhe eixos
e . - Trace uma linha pontilhada horizontal em
(assíntota). - Marque os pontos
e . - Lembre-se que a curva é sempre decrescente: à esquerda ela se aproxima de
por baixo; à direita ela desce sem limite (vai para ). - Ligue os pontos com uma curva suave que:
- Fica sempre abaixo de
, - Passa por
e , - Aproxima-se de
quando vai para , - Desce rapidamente para
quando cresce.
- Fica sempre abaixo de
Um esboço simples (texto) — as coordenadas e assíntota estão em TeX:
\n
y
↑
| . . . . (assíntota )
| /
| /
| / ← curva aproximando-se de quando
| /
| o ← ponto
| /
| / o ← ponto
|/
±---------------→ x
(a função continua descendo para à direita)
\n
y
↑
| . . . . (assíntota
| /
| /
| / ← curva aproximando-se de
| /
| o ← ponto
| /
| / o ← ponto
|/
±---------------→ x
(a função continua descendo para
Passo 9
Resumo intuitivo e dica final de memorização:
- Função do tipo
com : a parte cresce rápido; o sinal negativo inverte o crescimento, então a função resultante decresce. - Para esboçar, sempre procure assíntotas (limites nos extremos), interceptos e a monotonicidade — com isso o desenho sai rapidinho numa prova.
Resposta
Domínio:
Esboço (descrição): curva estritamente decrescente com assíntota horizontal quando
, passa por
e por
, e
.
Esboço (descrição): curva estritamente decrescente com assíntota horizontal