Encontre o domínio e esboce o gráfico da função.
f(x)=2-2^{x}

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=2-2^{x} e pede duas coisas:
  • Encontrar o domínio da função.
  • Esboçar o gráfico da função.
Informações importantes fornecidas pelo enunciado:
  • A expressão da função é f(x)=2-2^{x}.
  • Não há outras restrições explícitas (como raízes, denominadores, logaritmos, etc.) no enunciado.

Passo 2

Entender onde a expressão 2^{x} está definida (para decidir o domínio).
Explicação didática: a função exponencial 2^{x} está definida para todo x\in\mathbb{R}. Uma forma de ver isso é lembrar que 2^{x}=e^{x\ln 2}, e a função exponencial e^{t} é definida para todo real t. Assim não há nenhuma restrição sobre x.
Conclusão do passo: o domínio de f é todo o conjunto dos números reais.

Passo 3

Apresentar o domínio de forma direta.
Conclusão formal: o domínio é \mathbb{R}.
(Dica rápida: sempre que a função é combinação de polinomiais e exponenciais sem raízes/ln/denominadores complicados, o domínio costuma ser \mathbb{R}.)

Passo 4

Determinar a imagem (faixa de valores possíveis) — isso ajuda a esboçar o gráfico.
Raciocínio passo a passo:
  • Para todo x\in\mathbb{R} tem-se 2^{x}>0.
  • Então f(x)=2-2^{x}<2 para todo x.
  • Conforme x\to -\infty, 2^{x}\to 0^{+}, logo \lim_{x\to -\infty}f(x)=2.
  • Conforme x\to +\infty, 2^{x}\to +\infty, logo \lim_{x\to +\infty}f(x)=-\infty.
Conclusão: f(x) toma todos os valores menores que 2, portanto a imagem (intervalo) é (-\infty,2). Observe que y=2 nunca é atingida porque 2^{x}>0 sempre.

Passo 5

Calcular interceptos importantes (pontos que ajudam a desenhar o gráfico).
  • Intercepção com o eixo y (tomar x=0):
f(0)=2-2^{0}=2-1=1.
Logo há um ponto (0,1).
  • Intercepção com o eixo x (resolver f(x)=0):
2-2^{x}=0 \quad\Rightarrow\quad 2^{x}=2 \quad\Rightarrow\quad x=1.
Logo a raiz é (1,0).

Passo 6

Verificar monotonicidade (se a curva sobe ou desce) e calcular derivada para justificar.
  • Derivada: a derivada de 2^{x} é 2^{x}\ln 2. Assim
f'(x)=-2^{x}\ln 2.
  • Como 2^{x}>0 e \ln 2>0, temos f'(x)<0 para todo x.
Conclusão: f é estritamente decrescente em todo o seu domínio. Isso significa que, ao aumentar x, f(x) sempre diminui — comportamento útil para o esboço.

Passo 7

Determinar assíntotas e comportamento extremo (já antecipado nos limites).
  • Há uma assíntota horizontal quando x\to -\infty: \lim_{x\to -\infty}f(x)=2. Portanto y=2 é assíntota horizontal à esquerda.
  • Não há assíntota horizontal para x\to +\infty (a função vai para -\infty).
  • Não há assíntota vertical, pois domínio é todo \mathbb{R}.

Passo 8

Instruções práticas e passo a passo para esboçar o gráfico na prova (sem calculadora):
  1. Desenhe eixos x e y.
  2. Trace uma linha pontilhada horizontal em y=2 (assíntota).
  3. Marque os pontos (0,1) e (1,0).
  4. Lembre-se que a curva é sempre decrescente: à esquerda ela se aproxima de y=2 por baixo; à direita ela desce sem limite (vai para -\infty).
  5. Ligue os pontos com uma curva suave que:
    • Fica sempre abaixo de y=2,
    • Passa por (0,1) e (1,0),
    • Aproxima-se de y=2 quando x vai para -\infty,
    • Desce rapidamente para -\infty quando x cresce.
Um esboço simples (texto) — as coordenadas e assíntota estão em TeX:
\n
y

| . . . . (assíntota y=2)
| /
| /
| / ← curva aproximando-se de y=2 quando x\to -\infty
| /
| o ← ponto (0,1)
| /
| / o ← ponto (1,0)
|/
±---------------→ x
(a função continua descendo para -\infty à direita)

Passo 9

Resumo intuitivo e dica final de memorização:
  • Função do tipo a-b^{x} com b>1: a parte b^{x} cresce rápido; o sinal negativo inverte o crescimento, então a função resultante decresce.
  • Para esboçar, sempre procure assíntotas (limites nos extremos), interceptos e a monotonicidade — com isso o desenho sai rapidinho numa prova.

Resposta

Domínio: \mathbb{R}
Esboço (descrição): curva estritamente decrescente com assíntota horizontal \,y=2 quando x\to -\infty, passa por (0,1) e por (1,0), e \displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=-\infty.

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