Encontre o domínio e esboce o gráfico da função.
g(x)=\frac{|x|}{x^{2}}

Passo 1

O enunciado dá a função
g(x)=\frac{|x|}{x^{2}}
e pede duas coisas:
  • determinar o domínio de g;
  • esboçar o gráfico de g.
Informações relevantes fornecidas:
  • aparece o valor absoluto |x|, que está definido para todo x\in\mathbb{R};
  • aparece x^{2} no denominador, então é necessário evitar valores de x que tornem o denominador igual a zero.

Passo 2

Determinar o domínio: o denominador x^{2} é zero exatamente quando x=0. Logo x=0 não pode estar no domínio. Como |x| está definido para todo real, a única restrição vem do denominador.
Portanto o domínio é
\mathcal{D}=\mathbb{R}\setminus\{0\}.

Passo 3

Simplificar a expressão em duas regiões (aqui ensino como tratar o valor absoluto passo a passo).
Definição do valor absoluto (lembrando):
|x|=\begin{cases} x, & x\ge 0,\\[4pt] -x, & x<0. \end{cases}
Para x>0: |x|=x, então
g(x)=\frac{x}{x^{2}}=\frac{1}{x},\qquad x>0.
Para x<0: |x|=-x, então
g(x)=\frac{-x}{x^{2}}=-\frac{1}{x},\qquad x<0.
Observação útil (atalho que vale a pena decorar): como x^{2}=|x|^{2}, pode-se escrever para x\neq 0
g(x)=\frac{|x|}{x^{2}}=\frac{|x|}{|x|^{2}}=\frac{1}{|x|}.
Isso confirma as duas expressões acima e já mostra que a função é positiva em toda a sua definição.]

Passo 4

Propriedades importantes para o gráfico (expliquei o porquê de cada uma):
  • Sinal: para todo x\in\mathcal{D} tem-se g(x)=\dfrac{1}{|x|}>0. Ou seja, a função é sempre positiva.
  • Simetria: |-x|=|x| implica g(-x)=g(x), então g é uma função par (simétrica em relação ao eixo y).
  • Zeros e interceptos: não existe x tal que g(x)=0, logo não há intercepto com o eixo x. Também não há valor em x=0, então não há intercepto com o eixo y.
  • Comportamento para x\to 0 e x\to\pm\infty: \lim_{x\to 0^{+}}g(x)=\lim_{x\to 0^{-}}g(x)=+\infty,porque g(x)=1/|x| e |x|\to 0 implica 1/|x|\to+\infty. Assim x=0 é uma assíntota vertical. \lim_{x\to +\infty}g(x)=\lim_{x\to -\infty}g(x)=0^{+},então y=0 é uma assíntota horizontal (a partir de valores positivos).

Passo 5

Pontos de referência (úteis para desenhar à mão no exame). Vou calcular alguns valores e explicar como usá-los:
g(1)=\frac{1}{1}=1,\qquad g(2)=\frac{1}{2},\qquad g\!\bigl(\tfrac{1}{3}\bigr)=3,
g(-1)=1,\qquad g(-2)=\frac{1}{2},\qquad g\!\bigl(-\tfrac{1}{3}\bigr)=3.
Como a função é par, os valores negativos espelham os positivos.
Como desenhar rápido no caderno:
  • marque a assíntota vertical x=0 (linha tracejada) e a horizontal y=0;
  • no lado direito ( x>0 ) desenhe a curva de y=\dfrac{1}{x} apenas para x>0: passa por (1,1), por (2,\tfrac{1}{2}) e sobe muito quando x se aproxima de zero;
  • no lado esquerdo ( x<0 ) desenhe a curva espelhada no eixo y: passa por (-1,1), por (-2,\tfrac{1}{2}) e sobe muito quando x\to 0^{-}.
    As duas ramificações ficam inteiramente acima do eixo x, uma em primeiro quadrante e outra em segundo quadrante, aproximando-se de y=0 quando |x| cresce e tendendo a +\infty quando x se aproxima de 0.

Passo 6

Interpretação final (como responder rapidamente na prova):
  • domínio: \mathbb{R}\setminus\{0\};
  • forma da função: g(x)=\dfrac{1}{|x|} para x\neq 0;
  • assíntotas: vertical x=0 e horizontal y=0;
  • gráfico: duas ramificações hiperbólicas simétricas, uma para x>0 igual a y=1/x e outra para x<0 igual à reflexão dessa (ambas positivas).

Resposta

Domínio: \mathbb{R}\setminus\{0\}
Gráfico: g(x)=\dfrac{1}{|x|} para x\neq 0; duas ramificações simétricas, positivas, com assíntotas x=0 (vertical) e y=0 (horizontal).

Exercícios relacionados