Encontre o domínio e esboce o gráfico da função.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas:
- determinar o domínio de
; - esboçar o gráfico de
.
Informações relevantes fornecidas:
- aparece o valor absoluto
, que está definido para todo ; - aparece
no denominador, então é necessário evitar valores de que tornem o denominador igual a zero.
Passo 2
Determinar o domínio: o denominador
é zero exatamente quando
. Logo
não pode estar no domínio. Como
está definido para todo real, a única restrição vem do denominador.
Portanto o domínio é
Passo 3
Simplificar a expressão em duas regiões (aqui ensino como tratar o valor absoluto passo a passo).
Definição do valor absoluto (lembrando):
Para
:
, então
Para
:
, então
Observação útil (atalho que vale a pena decorar): como
, pode-se escrever para
Isso confirma as duas expressões acima e já mostra que a função é positiva em toda a sua definição.]
Passo 4
Propriedades importantes para o gráfico (expliquei o porquê de cada uma):
- Sinal: para todo
tem-se . Ou seja, a função é sempre positiva. - Simetria:
implica , então é uma função par (simétrica em relação ao eixo ). - Zeros e interceptos: não existe
tal que , logo não há intercepto com o eixo . Também não há valor em , então não há intercepto com o eixo . - Comportamento para
e : porque e implica . Assim é uma assíntota vertical. então é uma assíntota horizontal (a partir de valores positivos).
Passo 5
Pontos de referência (úteis para desenhar à mão no exame). Vou calcular alguns valores e explicar como usá-los:
Como a função é par, os valores negativos espelham os positivos.
Como desenhar rápido no caderno:
- marque a assíntota vertical
(linha tracejada) e a horizontal ; - no lado direito (
) desenhe a curva de apenas para : passa por , por e sobe muito quando se aproxima de zero; - no lado esquerdo (
) desenhe a curva espelhada no eixo : passa por , por e sobe muito quando .
As duas ramificações ficam inteiramente acima do eixo, uma em primeiro quadrante e outra em segundo quadrante, aproximando-se de quando cresce e tendendo a quando se aproxima de .
Passo 6
Interpretação final (como responder rapidamente na prova):
- domínio:
; - forma da função:
para ; - assíntotas: vertical
e horizontal ; - gráfico: duas ramificações hiperbólicas simétricas, uma para
igual a e outra para igual à reflexão dessa (ambas positivas).
Resposta
Domínio:
Gráfico: para
; duas ramificações simétricas, positivas, com assíntotas
(vertical) e
(horizontal).
Gráfico: