I-2 Classifique cada função como uma função potência, função raiz, função polinomial (estabeleça seu grau), função racional, função algébrica, função trigonométrica, função exponencial ou função logarítmica.
(a) f(x)=\sqrt[4]{x}

Passo 1

O que o enunciado pede: classificar a função dada. A função dada é f(x)=\sqrt[4]{x}. Não há outras informações, então vou trabalhar com a interpretação padrão em Reais: a raiz principal de índice 4 (índice par). As perguntas implícitas que vou responder:
  • Que tipo(s) de função é f(x)=\sqrt[4]{x}?
  • Se for possível, dar uma forma alternativa que ajude na classificação.

Passo 2

Reescrever a função numa forma que facilita a identificação.
A notação de raiz e potência está ligada pela igualdade padrão
\sqrt[n]{x}=x^{1/n}.
Aplicando com n=4 obtemos
f(x)=\sqrt[4]{x}=x^{1/4}.
Esta reescrita já é muito útil: mostra explicitamente o expoente da potência.

Passo 3

Definição e reconhecimento de “função potência”.
  • Uma função potência tem a forma geral \,x^{a}\, onde a é um número constante (real, frequentemente). Aqui temos exatamente \,f(x)=x^{1/4}\, com a=\tfrac{1}{4}.
  • Conclusão: f é uma função potência com expoente \tfrac{1}{4}.

Passo 4

Definição e reconhecimento de “função raiz”.
  • Função raiz de índice inteiro n tem a forma \sqrt[n]{x} (ou x^{1/n}). A função dada está escrita originalmente como \sqrt[4]{x}, ou seja, é uma raiz de índice 4.
  • Conclusão: f é também uma função raiz (raiz quarta).

Passo 5

Definição e reconhecimento de “função algébrica”.
  • Funções algébricas são aquelas que podem ser obtidas a partir de polinômios usando operações finitas de soma, subtração, multiplicação, divisão e extração de raiz enésima. Toda função do tipo x^{p/q} com p,q inteiros (expoente racional) é algébrica.
  • Como x^{1/4} tem expoente racional \tfrac{1}{4}, f é uma função algébrica.
  • Conclusão: f é também uma função algébrica.

Passo 6

Verificação de outras categorias para excluir:
  • Não é polinomial, pois polinômios exigem expoentes inteiros não-negativos; aqui o expoente é \tfrac{1}{4}.
  • Não é racional (razão de polinômios), pois não pode ser escrita como \dfrac{P(x)}{Q(x)} com expoentes inteiros finitos que reproduzam x^{1/4}.
  • Não é trigonométrica, exponencial nem logarítmica (essas têm formas bem distintas).
    Portanto as categorias adequadas são as indicadas nos passos anteriores.

Passo 7

Observação sobre domínio (útil para a prova): como o índice da raiz é par ( 4), a raiz real principal só está definida para x\ge 0. Logo, o domínio real usual é [0,\infty).

Resposta

Função raiz (é também uma função potência, pois f(x)=x^{1/4}, e é uma função algébrica).

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