Encontre o domínio e esboce o gráfico das funções abaixo:
f(x)=x^{2}+1

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=x^{2}+1 e pede duas coisas:
  • Encontrar o domínio de f.
  • Esboçar o gráfico de f.
Informações que temos do enunciado:
  • A expressão da função é f(x)=x^{2}+1.
  • Não há outras restrições nem imagens fornecidas.

Passo 2

O que é o domínio de uma função? Vou explicar de forma simples: o domínio é o conjunto de todos os valores de x para os quais a expressão que define a função faz sentido (está bem definida) no conjunto dos números reais. Exemplos de situações que restringem o domínio são:
  • divisão por zero (ex.: 1/(x-2) não permite x=2);
  • raiz par de número negativo (ex.: \sqrt{x-3} exige x\ge 3);
  • logaritmo de número não positivo (ex.: \ln(x) exige x>0).

Passo 3

Aplicando isso à nossa função f(x)=x^{2}+1: a expressão usa apenas potenciação com expoente inteiro positivo e soma. Essas operações estão definidas para todo x\in\mathbb{R}. Não há divisão, raiz par de expressão com possível negativo nem logaritmo. Portanto não há restrição sobre x.
Conclusão para o domínio:
\text{Domínio}=\mathbb{R}=\left(-\infty,\infty\right).í

Passo 4

Agora vamos caracterizar o gráfico. Uma forma fácil de ver a forma é completar o quadrado (isso também é uma técnica que aparece muito na prova). Começo com
f(x)=x^{2}+1.
Escrevendo como um quadrado perfeito mais uma constante:
f(x)=(x-0)^{2}+1.
Isto mostra imediatamente que o termo quadrático está centralizado em x=0 e que o menor valor de f ocorre quando o quadrado vale 0.
Portanto o vértice da parábola é o ponto (0,1).

Passo 5

Forma e simetria:
  • Como o coeficiente de x^{2} é 1>0, a parábola abre para cima.
  • A linha de simetria (eixo de simetria) é x=0 (o eixo y).

Passo 6

Interceptações e zeros:
  • Intercepto em y: f(0)=0^{2}+1=1. Então o gráfico cruza o eixo y em (0,1).
  • Zeros (raízes) da função: resolver x^{2}+1=0 x^{2}=-1, que não tem solução real. Usando o discriminante da fórmula quadrática, \Delta=b^{2}-4ac=0^{2}-4\cdot1\cdot1=-4<0, confirma que não há raízes reais. Então a parábola não cruza o eixo x.

Passo 7

Crescimento/decrescimento (útil para desenhar):
  • Derivada: f'(x)=2x.
  • Logo f'(x)<0 em \left(-\infty,0\right) (função decrescente à esquerda do vértice) e f'(x)>0 em \left(0,\infty\right) (função crescente à direita do vértice).
  • Em x=0 temos mínimo relativo (na verdade mínimo global) com valor f(0)=1.

Passo 8

Alguns pontos para plotar (úteis para esboçar sem calculadora):
f(-2)=(-2)^{2}+1=5,\qquad f(-1)=2,\qquad f(0)=1,\qquad f(1)=2,\qquad f(2)=5.
Pontos simétricos em relação a x=0. Ao definir esses pontos e ligar com uma curva suave em forma de U aberta para cima, já se obtém um bom esboço.
Sugestão prática de esboço (passos):
  1. Marque o vértice (0,1).
  2. Marque os pontos (\pm1,2) e (\pm2,5).
  3. Desenhe a parábola suave passando por esses pontos, simétrica em relação ao eixo x=0, abrindo para cima.
  4. Observe que não há interseção com o eixo x (a parábola fica sempre acima de y=1).

Passo 9

Com isso você tem todas as informações para responder na prova: domínio, posição do vértice, simetria, pontos para desenhar e comportamento extremo.

Resposta

Domínio: \mathbb{R}
Esboço do gráfico: parábola com vértice em (0,1), eixo de simetria x=0, abre para cima, intercepto em y em (0,1) e sem raízes reais (não cruza o eixo x).

Exercícios relacionados