Encontre o domínio e esboce o gráfico das funções abaixo:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas:
- Encontrar o domínio de
. - Esboçar o gráfico de
.
Informações que temos do enunciado:
- A expressão da função é
. - Não há outras restrições nem imagens fornecidas.
Passo 2
O que é o domínio de uma função? Vou explicar de forma simples: o domínio é o conjunto de todos os valores de
para os quais a expressão que define a função faz sentido (está bem definida) no conjunto dos números reais. Exemplos de situações que restringem o domínio são:
- divisão por zero (ex.:
não permite ); - raiz par de número negativo (ex.:
exige ); - logaritmo de número não positivo (ex.:
exige ).
Passo 3
Aplicando isso à nossa função
: a expressão usa apenas potenciação com expoente inteiro positivo e soma. Essas operações estão definidas para todo
. Não há divisão, raiz par de expressão com possível negativo nem logaritmo. Portanto não há restrição sobre
.
Conclusão para o domínio:
Passo 4
Agora vamos caracterizar o gráfico. Uma forma fácil de ver a forma é completar o quadrado (isso também é uma técnica que aparece muito na prova). Começo com
Escrevendo como um quadrado perfeito mais uma constante:
Isto mostra imediatamente que o termo quadrático está centralizado em
e que o menor valor de
ocorre quando o quadrado vale
.
Portanto o vértice da parábola é o ponto
.
Passo 5
Forma e simetria:
- Como o coeficiente de
é , a parábola abre para cima. - A linha de simetria (eixo de simetria) é
(o eixo ).
Passo 6
Interceptações e zeros:
- Intercepto em
: . Então o gráfico cruza o eixo em . - Zeros (raízes) da função: resolver
dá , que não tem solução real. Usando o discriminante da fórmula quadrática, , confirma que não há raízes reais. Então a parábola não cruza o eixo .
Passo 7
Crescimento/decrescimento (útil para desenhar):
- Derivada:
. - Logo
em (função decrescente à esquerda do vértice) e em (função crescente à direita do vértice). - Em
temos mínimo relativo (na verdade mínimo global) com valor .
Passo 8
Alguns pontos para plotar (úteis para esboçar sem calculadora):
Pontos simétricos em relação a
. Ao definir esses pontos e ligar com uma curva suave em forma de U aberta para cima, já se obtém um bom esboço.
Sugestão prática de esboço (passos):
- Marque o vértice
. - Marque os pontos
e . - Desenhe a parábola suave passando por esses pontos, simétrica em relação ao eixo
, abrindo para cima. - Observe que não há interseção com o eixo
(a parábola fica sempre acima de ).
Passo 9
Com isso você tem todas as informações para responder na prova: domínio, posição do vértice, simetria, pontos para desenhar e comportamento extremo.
Resposta
Domínio:
Esboço do gráfico: parábola com vértice em
, eixo de simetria
, abre para cima, intercepto em
em
e sem raízes reais (não cruza o eixo
).