Resolva as inequações abaixo em termos de intervalos e ilustre o conjunto solução na reta real:
|x-2|+|x-1|>1

Passo 1

O que o problema pede e o que nos dá:
  • Pede resolver a inequação |x-2|+|x-1|>1 em termos de intervalos (ou seja, encontrar o conjunto de todos os x\in\mathbb{R} que satisfazem a desigualdade) e ilustrar esse conjunto na reta real.
  • Informações relevantes do enunciado:
    • A expressão envolve valores absolutos com pontos críticos em x=1 e x=2.
    • Devemos considerar como os módulos se comportam em torno desses pontos para resolver a inequação.

Passo 2

Observação didática sobre valores absolutos (aula rápida, no estilo amigo):
  • O valor absoluto |x-a| representa a distância entre x e a na reta real. Então |x-2|+|x-1| é a soma das distâncias de x até 2 e até 1.
  • Existe uma ideia geométrica útil: para dois pontos 1 e 2 cuja distância é |2-1|=1, a soma das distâncias de x até esses dois pontos nunca é menor que 1; mais precisamente,
    • se x está entre 1 e 2 (isto é, 1\le x\le2), então |x-2|+|x-1|=1;
    • se x está fora do intervalo [1,2], então |x-2|+|x-1|>1.
  • Além da ideia geométrica, vamos fazer a resolução por partes (método algébrico por intervalos), que é direto e seguro para provas: dividir a reta em intervalos determinados pelos pontos 1 e 2 e simplificar os módulos em cada intervalo.

Passo 3

Resolver para a região x\le 1.
  • Para x\le 1 temos x-2\le -1 e x-1\le 0, então os módulos se tornam |x-2|=2-x,\qquad |x-1|=1-x.
  • Substituindo na inequação: |x-2|+|x-1|=(2-x)+(1-x)=3-2x.Queremos 3-2x>1.
  • Resolver 3-2x>1: 3-2x>1 \quad\Longrightarrow\quad -2x> -2 \quad\Longrightarrow\quad x<1.
  • Intersecando com a hipótese x\le 1, a solução nesta região é todos os x tais que x<1. (Observe que x=1 não satisfaz porque aí a soma vale exatamente 1.)

Passo 4

Resolver para a região 1\le x\le 2.
  • Para 1\le x\le 2 temos x-1\ge 0 e x-2\le 0, então |x-1|=x-1,\qquad |x-2|=2-x.
  • Substituindo: |x-2|+|x-1|=(2-x)+(x-1)=1.
  • Assim, para todo x com 1\le x\le 2 a soma vale exatamente 1. A inequação pede estritamente maior que 1, então nenhum x neste intervalo satisfaz a desigualdade. Portanto, não há solução em [1,2].

Passo 5

Resolver para a região x\ge 2.
  • Para x\ge 2 temos x-2\ge 0 e x-1\ge 1, então |x-2|=x-2,\qquad |x-1|=x-1.
  • Substituindo: |x-2|+|x-1|=(x-2)+(x-1)=2x-3.Queremos 2x-3>1.
  • Resolver 2x-3>1: 2x-3>1 \quad\Longrightarrow\quad 2x>4 \quad\Longrightarrow\quad x>2.
  • Intersecando com a hipótese x\ge 2, a solução nesta região é todos os x tais que x>2. (O ponto x=2 não serve porque a soma ali é exatamente 1.)

Passo 6

Juntando as soluções das três regiões e ilustrando na reta real:
  • Das regiões obtivemos soluções para x<1 e para x>2; não há solução em [1,2].
  • Descrição da ilustração na reta real:
    • O conjunto solução é formado por todo o semieixo à esquerda de 1 (com círculo aberto em 1) e todo o semieixo à direita de 2 (com círculo aberto em 2).
    • Em palavras: na reta, sombrear para a esquerda a partir de 1 (excluindo 1) e sombrear para a direita a partir de 2 (excluindo 2).
  • Representação ASCII (simbolizando círculos abertos em 1 e 2 e sombreamentos para fora):
    • … ← 1 2→ …
    • onde os trechos sombreados são x<1 (à esquerda) e x>2 (à direita), e os círculos em 1 e 2 indicam que esses pontos não pertencem ao conjunto solução.

Resposta

(-\infty,1)\cup(2,\infty)

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