Resolva as inequações abaixo em termos de intervalos e ilustre o conjunto solução na reta real:
Passo 1
O que o problema pede e o que nos dá:
- Pede resolver a inequação
em termos de intervalos (ou seja, encontrar o conjunto de todos os que satisfazem a desigualdade) e ilustrar esse conjunto na reta real. - Informações relevantes do enunciado:
- A expressão envolve valores absolutos com pontos críticos em
e . - Devemos considerar como os módulos se comportam em torno desses pontos para resolver a inequação.
- A expressão envolve valores absolutos com pontos críticos em
Passo 2
Observação didática sobre valores absolutos (aula rápida, no estilo amigo):
- O valor absoluto
representa a distância entre e na reta real. Então é a soma das distâncias de até e até . - Existe uma ideia geométrica útil: para dois pontos
e cuja distância é , a soma das distâncias de até esses dois pontos nunca é menor que ; mais precisamente, - se
está entre e (isto é, ), então ; - se
está fora do intervalo , então .
- se
- Além da ideia geométrica, vamos fazer a resolução por partes (método algébrico por intervalos), que é direto e seguro para provas: dividir a reta em intervalos determinados pelos pontos
e e simplificar os módulos em cada intervalo.
Passo 3
Resolver para a região
.
- Para
temos e , então os módulos se tornam - Substituindo na inequação:
Queremos . - Resolver
: - Intersecando com a hipótese
, a solução nesta região é todos os tais que . (Observe que não satisfaz porque aí a soma vale exatamente .)
Passo 4
Resolver para a região
.
- Para
temos e , então - Substituindo:
- Assim, para todo
com a soma vale exatamente . A inequação pede estritamente maior que , então nenhum neste intervalo satisfaz a desigualdade. Portanto, não há solução em .
Passo 5
Resolver para a região
.
- Para
temos e , então - Substituindo:
Queremos . - Resolver
: - Intersecando com a hipótese
, a solução nesta região é todos os tais que . (O ponto não serve porque a soma ali é exatamente .)
Passo 6
Juntando as soluções das três regiões e ilustrando na reta real:
- Das regiões obtivemos soluções para
e para ; não há solução em . - Descrição da ilustração na reta real:
- O conjunto solução é formado por todo o semieixo à esquerda de
(com círculo aberto em ) e todo o semieixo à direita de (com círculo aberto em ). - Em palavras: na reta, sombrear para a esquerda a partir de
(excluindo ) e sombrear para a direita a partir de (excluindo ).
- O conjunto solução é formado por todo o semieixo à esquerda de
- Representação ASCII (simbolizando círculos abertos em
e e sombreamentos para fora): - … ←○
○→ … - onde os trechos sombreados são
(à esquerda) e (à direita), e os círculos em e indicam que esses pontos não pertencem ao conjunto solução.
- … ←○