Encontre o domínio e esboce o gráfico das funções abaixo:
f(x)=x^{2}-x-2

Passo 1

O enunciado dá a função quadrática f(x)=x^{2}-x-2 e pede duas coisas: (1) encontrar o domínio de f; (2) esboçar o gráfico de f. Informações relevantes fornecidas diretamente pela função: os coeficientes da parábola são a=1, b=-1 e c=-2. Nada mais foi fornecido.

Passo 2

Domínio: explicar o que é e como obter.
  • Domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de x para os quais a função está definida.
  • Para polinômios (como x^{2}-x-2) não há problema de divisão por zero, raiz par de número negativo, log de número não positivo, etc. Polinômios estão definidos para todo x\in\mathbb{R}.
    Logo, o domínio é \mathbb{R}. Vou anotar isso como resposta final depois.

Passo 3

Encontrar as raízes (zeros) da função — pontos onde f(x)=0. Isso ajuda no esboço porque são as interseções com o eixo x.
  • Resolver a equação \,x^{2}-x-2=0.
  • Tentar fatorar: procurar fatores de -2 cuja soma seja -1. Os números são -2 e 1.
x^{2}-x-2=(x-2)(x+1).
  • Portanto as raízes são \,x=2 e \,x=-1.
    Ou seja, a parábola corta o eixo x nos pontos (-1,0) e (2,0).

Passo 4

Calcular o vértice da parábola — ponto de mínimo ou máximo (aqui será mínimo porque a>0).
Duas formas equivalentes: fórmula do vértice e completar o quadrado. Vou mostrar as duas (porque uma é rápida na prova e a outra ensina o porquê).
  1. Fórmula do vértice:
  • Abscissa do vértice: \,x_v=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{-1}{2\cdot1}=\dfrac{1}{2}.
  • Ordenada do vértice: y_v=f(x_v)=f\!\left(\tfrac{1}{2}\right). Calcular:
f\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2}-\left(\tfrac{1}{2}\right)-2=\tfrac{1}{4}-\tfrac{1}{2}-2=\tfrac{1}{4}-\tfrac{1}{2}-2.
Fazendo as frações:
\tfrac{1}{4}-\tfrac{1}{2}=-\tfrac{1}{4},\qquad -\tfrac{1}{4}-2=-\tfrac{1}{4}-\tfrac{8}{4}=-\tfrac{9}{4}.
Então o vértice é \displaystyle\left(\tfrac{1}{2},-\tfrac{9}{4}\right).
  1. Completar o quadrado (mostra a forma canônica):
x^{2}-x-2=\bigl(x^{2}-x+\tfrac{1}{4}\bigr)-\tfrac{1}{4}-2=(x-\tfrac{1}{2})^{2}-\tfrac{9}{4}.
Essa forma deixa explícito que o mínimo ocorre em x=\tfrac{1}{2} com valor mínimo -\tfrac{9}{4}.

Passo 5

Outros pontos importantes para o esboço.
  • Interseção com o eixo y: colocar x=0. Então f(0)=0^{2}-0-2=-2. Ponto (0,-2).
  • Já temos as interseções com o eixo x: (-1,0) e (2,0).
  • Eixo de simetria da parábola: a reta vertical que passa pelo vértice, dada por x=\tfrac{1}{2}. Isso confirma que o ponto (0,-2) e o ponto (1,-2) (se calcular f(1)=1-1-2=-2) são simétricos em relação ao eixo x=\tfrac{1}{2}.

Passo 6

Análise da concavidade e comportamento extremo.
  • Coeficiente a=1>0, portanto a parábola abre para cima (formato de “U”). Isso significa que o vértice é um mínimo absoluto local (e global).
  • Para x\to\pm\infty, f(x)\to+\infty. No esboço, as pontas da parábola sobem para cima nas duas direções.

Passo 7

Como esboçar passo a passo (na prova, sem régua complicada):
  1. Trace os eixos x e y.
  2. Marque as raízes (-1,0) e (2,0).
  3. Marque o vértice \left(\tfrac{1}{2},-\tfrac{9}{4}\right) (observe que -\tfrac{9}{4}=-2,25, ou seja, um pouco abaixo de -2).
  4. Marque o ponto (0,-2) (intercepto em y) e, por simetria, o ponto (1,-2).
  5. Desenhe uma curva suave em “U” passando pelo vértice e pelas raízes, simétrica em relação a x=\tfrac{1}{2}, subindo para +\infty nas extremidades.
Dica prática: ligar os pontos com curva suave, evitando cantos; a forma deve passar por (-1,0) descer até o vértice em \left(\tfrac{1}{2},-\tfrac{9}{4}\right) e subir passando por (2,0).

Resposta

Domínio: \mathbb{R}
Gráfico: parábola com abertura para cima; raízes em (-1,0) e (2,0); vértice em \left(\tfrac{1}{2},-\tfrac{9}{4}\right); intercepto em y em (0,-2); eixo de simetria x=\tfrac{1}{2}.

Exercícios relacionados