Encontre o domínio e esboce o gráfico das funções abaixo:
Passo 1
O enunciado dá a função quadrática
e pede duas coisas: (1) encontrar o domínio de
; (2) esboçar o gráfico de
. Informações relevantes fornecidas diretamente pela função: os coeficientes da parábola são
,
e
. Nada mais foi fornecido.
Passo 2
Domínio: explicar o que é e como obter.
- Domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida. - Para polinômios (como
) não há problema de divisão por zero, raiz par de número negativo, log de número não positivo, etc. Polinômios estão definidos para todo .
Logo, o domínio é. Vou anotar isso como resposta final depois.
Passo 3
Encontrar as raízes (zeros) da função — pontos onde
. Isso ajuda no esboço porque são as interseções com o eixo
.
- Resolver a equação
. - Tentar fatorar: procurar fatores de
cuja soma seja . Os números são e .
- Portanto as raízes são
e .
Ou seja, a parábola corta o eixonos pontos e .
Passo 4
Calcular o vértice da parábola — ponto de mínimo ou máximo (aqui será mínimo porque
).
Duas formas equivalentes: fórmula do vértice e completar o quadrado. Vou mostrar as duas (porque uma é rápida na prova e a outra ensina o porquê).
Duas formas equivalentes: fórmula do vértice e completar o quadrado. Vou mostrar as duas (porque uma é rápida na prova e a outra ensina o porquê).
- Fórmula do vértice:
- Abscissa do vértice:
- Ordenada do vértice:
. Calcular:
Fazendo as frações:
Então o vértice é
- Completar o quadrado (mostra a forma canônica):
Essa forma deixa explícito que o mínimo ocorre em
com valor mínimo
.
Passo 5
Outros pontos importantes para o esboço.
- Interseção com o eixo
: colocar . Então . Ponto . - Já temos as interseções com o eixo
: e . - Eixo de simetria da parábola: a reta vertical que passa pelo vértice, dada por
. Isso confirma que o ponto e o ponto (se calcular ) são simétricos em relação ao eixo .
Passo 6
Análise da concavidade e comportamento extremo.
- Coeficiente
, portanto a parábola abre para cima (formato de “U”). Isso significa que o vértice é um mínimo absoluto local (e global). - Para
, . No esboço, as pontas da parábola sobem para cima nas duas direções.
Passo 7
Como esboçar passo a passo (na prova, sem régua complicada):
- Trace os eixos
e . - Marque as raízes
e . - Marque o vértice
(observe que , ou seja, um pouco abaixo de ). - Marque o ponto
(intercepto em ) e, por simetria, o ponto . - Desenhe uma curva suave em “U” passando pelo vértice e pelas raízes, simétrica em relação a
, subindo para nas extremidades.
Dica prática: ligar os pontos com curva suave, evitando cantos; a forma deve passar por
descer até o vértice em
e subir passando por
.
Resposta
Domínio:
Gráfico: parábola com abertura para cima; raízes em e
; vértice em
; intercepto em
em
; eixo de simetria
.
Gráfico: parábola com abertura para cima; raízes em