Encontre o domínio de f(x)=\sqrt{9-x^{2}}+\ln (x).

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=\sqrt{9-x^{2}}+\ln(x) e pede o domínio de f.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função contém uma raiz quadrada \sqrt{9-x^{2}}.
  • A função contém um logaritmo natural \ln(x).
O que precisamos determinar: o conjunto de valores de x que tornam ambas as expressões \sqrt{9-x^{2}} e \ln(x) bem definidas simultaneamente.

Passo 2

Regras que vou usar (explicadas de forma bem prática):
  • Para estar bem definida, a raiz quadrada \sqrt{A} exige que o radicando seja não negativo: A\ge 0. Aqui A=9-x^{2}, então é necessário 9-x^{2}\ge 0.
    • Raciocínio: \sqrt{\cdot} sobre números reais só aceita entradas \ge 0 porque não definimos raiz quadrada real de número negativo.
  • Para estar bem definido, o logaritmo natural \ln(x) exige que o argumento seja estritamente positivo: x>0.
    • Raciocínio: \ln(x) só existe para x>0; \ln(0) não está definido (tende a -\infty) e \ln de número negativo não é real.
Portanto o domínio de f será a interseção dos conjuntos que satisfazem cada uma dessas condições.

Passo 3

Resolver a condição da raiz quadrada:
9-x^{2}\ge 0.
Passos para resolver:
9-x^{2}\ge 0 \quad\Longleftrightarrow\quad x^{2}\le 9.
A desigualdade x^{2}\le 9 significa que a distância de x até zero é no máximo 3. Em termos de intervalo:
-3 \le x \le 3.

Passo 4

Resolver a condição do logaritmo:
x>0.
Agora intersectamos os dois conjuntos: a raiz pede -3\le x\le 3 e o logaritmo pede x>0. A interseção é
0<x\le 3.
Comentário sobre extremos: x=0 não pode porque \ln(0) não existe; x=3 é permitido porque \sqrt{9-3^{2}}=\sqrt{0}=0 e \ln(3) é definido.

Passo 5

Verificação rápida com exemplos para fixar:
  • Tomando x=1 (dentro do intervalo): \sqrt{9-1^{2}}=\sqrt{8} e \ln(1)=0, então f(1)=\sqrt{8} está OK.
  • Tomando x=-2 (cumpre a raiz, mas não o log): \ln(-2) não é definido em reais, logo x=-2 está fora do domínio.
  • Tomando x=3: \sqrt{9-9}=0 e \ln(3) existe, então x=3 está no domínio.
  • Tomando x=0: \ln(0) não existe, então x=0 está fora.

Resposta

(0,3]

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