Encontre o domínio de
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede o domínio de
.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A função contém uma raiz quadrada
. - A função contém um logaritmo natural
.
O que precisamos determinar: o conjunto de valores de
que tornam ambas as expressões
e
bem definidas simultaneamente.
Passo 2
Regras que vou usar (explicadas de forma bem prática):
- Para estar bem definida, a raiz quadrada
exige que o radicando seja não negativo: . Aqui , então é necessário . - Raciocínio:
sobre números reais só aceita entradas porque não definimos raiz quadrada real de número negativo.
- Raciocínio:
- Para estar bem definido, o logaritmo natural
exige que o argumento seja estritamente positivo: . - Raciocínio:
só existe para ; não está definido (tende a ) e de número negativo não é real.
- Raciocínio:
Portanto o domínio de
será a interseção dos conjuntos que satisfazem cada uma dessas condições.
Passo 3
Resolver a condição da raiz quadrada:
Passos para resolver:
A desigualdade
significa que a distância de
até zero é no máximo
. Em termos de intervalo:
Passo 4
Resolver a condição do logaritmo:
Agora intersectamos os dois conjuntos: a raiz pede
e o logaritmo pede
. A interseção é
Comentário sobre extremos:
não pode porque
não existe;
é permitido porque
e
é definido.
Passo 5
Verificação rápida com exemplos para fixar:
- Tomando
(dentro do intervalo): e , então está OK. - Tomando
(cumpre a raiz, mas não o log): não é definido em reais, logo está fora do domínio. - Tomando
: e existe, então está no domínio. - Tomando
: não existe, então está fora.