Determine o domínio das seguintes funções:
h(x)=\operatorname{arcsen}(2 x-1)

Passo 1

O enunciado dá a função h(x)=\operatorname{arcsen}(2x-1) e pede: determinar o domínio de h.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A função é composta pela função \operatorname{arcsen} aplicada à expressão 2x-1.
  • Precisa-se encontrar todos os valores de x para os quais h(x) está bem definida.

Passo 2

Lembrete importante (o que a teoria diz): a função \operatorname{arcsen} — inversa da função seno restrita — só aceita argumentos no intervalo [-1,1]. Ou seja, para que \operatorname{arcsen}(y) esteja definida, é necessário e suficiente que -1 \le y \le 1.
Portanto, no nosso caso o argumento é y=2x-1, e devemos exigir
-1 \le 2x-1 \le 1.

Passo 3

Agora vamos resolver passo a passo a desigualdade em cadeia
-1 \le 2x-1 \le 1.
Primeiro passo algébrico: somar 1 a todos os três membros da desigualdade. Isso é permitido e preserva as desigualdades. Fazendo a soma obtemos
-1+1 \le 2x-1+1 \le 1+1.

Passo 4

Simplificando cada termo na linha anterior chegamos a
0 \le 2x \le 2.
Expliquei: -1+1=0, 2x-1+1=2x e 1+1=2.

Passo 5

Agora dividir todos os membros por 2. Como 2 é positivo, a operação de dividir por 2 preserva as desigualdades. Dividindo obtemos
0 \le x \le 1.
Isto significa que todos os x entre 0 e 1, inclusive, satisfazem a condição.

Passo 6

Checagem rápida com exemplos para fixar a ideia:
  • Se x=0 então 2x-1=-1, que está dentro de [-1,1], logo h(0) está definido.
  • Se x=1 então 2x-1=1, também permitido.
  • Se x=-1 então 2x-1=-3, fora do intervalo, logo h(-1) não está definido.
    Esses exemplos confirmam a solução obtida.

Resposta

[0,1]

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