Determine o domínio das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede: determinar o domínio de
.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A função é composta pela função
aplicada à expressão . - Precisa-se encontrar todos os valores de
para os quais está bem definida.
Passo 2
Lembrete importante (o que a teoria diz): a função
— inversa da função seno restrita — só aceita argumentos no intervalo
. Ou seja, para que
esteja definida, é necessário e suficiente que
.
Portanto, no nosso caso o argumento é , e devemos exigir
Portanto, no nosso caso o argumento é
Passo 3
Agora vamos resolver passo a passo a desigualdade em cadeia
Primeiro passo algébrico: somar
a todos os três membros da desigualdade. Isso é permitido e preserva as desigualdades. Fazendo a soma obtemos
Passo 4
Simplificando cada termo na linha anterior chegamos a
Expliquei:
,
e
.
Passo 5
Agora dividir todos os membros por
. Como
é positivo, a operação de dividir por
preserva as desigualdades. Dividindo obtemos
Isto significa que todos os
entre
e
, inclusive, satisfazem a condição.
Passo 6
Checagem rápida com exemplos para fixar a ideia:
- Se
então , que está dentro de , logo está definido. - Se
então , também permitido. - Se
então , fora do intervalo, logo não está definido.
Esses exemplos confirmam a solução obtida.