Considere f(x)=\sqrt{2-x} e g(x)=\ln (x+1). Determine o domínio de f \circ g e g \circ f.

Passo 1

O enunciado dá duas funções:
  • f(x)=\sqrt{2-x}.
  • g(x)=\ln(x+1).
O que se pede:
  • Determinar o domínio de f\circ g, isto é, do composto x\mapsto f(g(x)).
  • Determinar o domínio de g\circ f, isto é, do composto x\mapsto g(f(x)).
Informações dadas relevantes:
  • A expressão dentro da raiz quadrada deve ser não negativa.
  • O argumento do logaritmo natural deve ser estritamente positivo.

Passo 2

Encontrar os domínios de f e de g separadamente (isso ajuda a compor).
Para f(x)=\sqrt{2-x} é necessário que o radicando seja não negativo:
2-x \ge 0 \quad\Longleftrightarrow\quad x \le 2.
Portanto o domínio de f é
D_f = (-\infty,\,2].
Para g(x)=\ln(x+1) é necessário que o argumento do log seja positivo:
x+1>0 \quad\Longleftrightarrow\quad x>-1.
Portanto o domínio de g é
D_g = (-1,\,\infty).

Passo 3

Regra para domínio de composição (explicação didática):
  • Para f\circ g (isto é, f(g(x))), um valor x é permitido quando: (i) x pertence ao domínio de g e (ii) o valor g(x) pertence ao domínio de f. Ou seja,
D_{f\circ g}=\{x\in D_g \mid g(x)\in D_f\}.
  • Analogamente, para g\circ f:
D_{g\circ f}=\{x\in D_f \mid f(x)\in D_g\}.
Intuição: primeiro é preciso poder calcular a função interna; depois o resultado dessa interna tem de ser um input válido da função externa.

Passo 4

Determinar D_{f\circ g}.
Escrevendo o composto:
(f\circ g)(x)=f(g(x))=\sqrt{\,2-\ln(x+1)\,}.
Condições:
  1. x\in D_g, isto é x>-1.
  2. g(x)=\ln(x+1) deve estar em D_f, ou seja deve satisfazer
\ln(x+1)\le 2.
Resolver a desigualdade:
\ln(x+1)\le 2 \quad\Longleftrightarrow\quad x+1 \le e^{2} \quad\Longleftrightarrow\quad x \le e^{2}-1.
Combinar com x>-1
-1 < x \le e^{2}-1.
Logo
D_{f\circ g}=(-1,\,e^{2}-1].
Comentários práticos: o extremo superior x=e^{2}-1 é incluído porque então \ln(x+1)=2 e 2-2=0 dá raiz de zero (válida). O extremo inferior x=-1 é excluído porque aí \ln(x+1) não está definido.

Passo 5

Verificação rápida com exemplos (para fixar a intuição):
  • Para x=0 (que está em (-1,e^{2}-1]): (f\circ g)(0)=\sqrt{2-\ln(1)}=\sqrt{2-0}=\sqrt{2} — OK.
  • Para x=e^{2}-1: (f\circ g)(e^{2}-1)=\sqrt{2-\ln(e^{2})}=\sqrt{2-2}=0 — OK.

Passo 6

Determinar D_{g\circ f}.
Escrevendo o composto:
(g\circ f)(x)=g(f(x))=\ln\big(\sqrt{2-x}+1\big).
Condições:
  1. x\in D_f, isto é x\le 2.
  2. f(x) deve estar em D_g, isto é f(x)+1>0:
\sqrt{2-x}+1>0.
Mas para qualquer x\le 2 tem-se \sqrt{2-x}\ge 0, então \sqrt{2-x}+1\ge 1>0. Portanto a segunda condição é automaticamente satisfeita por todo x\in D_f.
Assim
D_{g\circ f}=D_f = (-\infty,\,2].

Passo 7

Resumo e interpretação curta:
  • Para f\circ g é preciso restringir x tanto para o log ser calculável quanto para o resultado do log caber dentro da raiz.
  • Para g\circ f basta que f exista: adicionar 1 a uma raiz não negativa nunca dará um número não positivo, então o log sempre fica definido.

Resposta

D_{f\circ g}=(-1,\,e^{2}-1]
D_{g\circ f}=(-\infty,\,2]

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