Considere
e
. Determine o domínio de
e
.
Passo 1
O enunciado dá duas funções:
-
. -
.
O que se pede:
- Determinar o domínio de
, isto é, do composto . - Determinar o domínio de
, isto é, do composto .
Informações dadas relevantes:
- A expressão dentro da raiz quadrada deve ser não negativa.
- O argumento do logaritmo natural deve ser estritamente positivo.
Passo 2
Encontrar os domínios de
e de
separadamente (isso ajuda a compor).
Para
é necessário que o radicando seja não negativo:
Portanto o domínio de
é
Para
é necessário que o argumento do log seja positivo:
Portanto o domínio de
é
Passo 3
Regra para domínio de composição (explicação didática):
- Para
(isto é, ), um valor é permitido quando: (i) pertence ao domínio de e (ii) o valor pertence ao domínio de . Ou seja,
- Analogamente, para
:
Intuição: primeiro é preciso poder calcular a função interna; depois o resultado dessa interna tem de ser um input válido da função externa.
Passo 4
Determinar
.
Escrevendo o composto:
Condições:
-
, isto é . -
deve estar em , ou seja deve satisfazer
Resolver a desigualdade:
Combinar com
dá
Logo
Comentários práticos: o extremo superior
é incluído porque então
e
dá raiz de zero (válida). O extremo inferior
é excluído porque aí
não está definido.
Passo 5
Verificação rápida com exemplos (para fixar a intuição):
- Para
(que está em ): — OK. - Para
: — OK.
Passo 6
Determinar
.
Escrevendo o composto:
Condições:
-
, isto é . -
deve estar em , isto é :
Mas para qualquer
tem-se
, então
. Portanto a segunda condição é automaticamente satisfeita por todo
.
Assim
Passo 7
Resumo e interpretação curta:
- Para
é preciso restringir tanto para o log ser calculável quanto para o resultado do log caber dentro da raiz. - Para
basta que exista: adicionar a uma raiz não negativa nunca dará um número não positivo, então o log sempre fica definido.