Determine o domínio das seguintes funções:
p(x)=\frac{x}{\sqrt{4-x^{2}}}+\ln \left(x^{2}-1\right)

Passo 1

O enunciado pede determinar o domínio da função
p(x)=\frac{x}{\sqrt{4-x^{2}}}+\ln\left(x^{2}-1\right).
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A expressão contém uma raiz quadrada \sqrt{4-x^{2}} no denominador.
  • A expressão contém um logaritmo natural \ln\left(x^{2}-1\right).
  • A tarefa é encontrar todos os valores de x para os quais p(x) está bem definida (ou seja, o domínio).

Passo 2

Regras que valem para cada parte da expressão (explicadas com calma):
  • Para a raiz quadrada \sqrt{4-x^{2}} o radicando deve ser maior ou igual a zero: 4-x^{2}\ge 0.Porém, como essa raiz aparece no denominador, não podemos ter denominador zero. Então precisamos da condição estrita 4-x^{2}>0.Vamos resolver essa desigualdade passo a passo: 4-x^{2}>0 \quad\Longleftrightarrow\quad x^{2}<4.A solução de x^{2}<4 é -2<x<2.Comentário didático: quando se resolve x^{2}<a^{2} com a>0, a solução é -a<x<a. Aqui a=2.

Passo 3

Agora a condição para o logaritmo natural: o argumento do log deve ser positivo:
x^{2}-1>0.
Resolvendo essa desigualdade:
x^{2}-1>0 \quad\Longleftrightarrow\quad (x-1)(x+1)>0.
Fazendo a análise de sinais (ou lembrando do padrão para x^{2}-1):
  • As raízes são x=-1 e x=1.
  • O produto (x-1)(x+1) é positivo quando x<-1 ou quando x>1.
    Portanto
x< -1 \quad\text{ou}\quad x>1.
Comentário didático: entre -1 e 1 o quadrado é menor que 1, então x^{2}-1<0 e o log não existe ali.

Passo 4

Agora combinamos as duas condições: precisamos dos x que satisfazem simultaneamente
-2<x<2
e
x<-1\\ \text{ou}\\ x>1.
Intersecando os intervalos:
  • Interseção de (-2,2) com (-\infty,-1) é (-2,-1).
  • Interseção de (-2,2) com (1,\infty) é (1,2).
    Logo a interseção total é
(-2,-1)\cup(1,2).
Observação sobre os extremos: os pontos -2,\,-1,\,1,\,2 são todos excluídos porque em -2 e 2 o denominador seria zero, e em -1 e 1 o argumento do log seria zero (ou negativo ao se aproximar), então nenhum desses pontos é permitido.

Passo 5

Verificação rápida com exemplos (para ganhar confiança):
  • Pegando x=1{,}5\in(1,2): \sqrt{4-x^{2}}=\sqrt{4-2{,}25}>0 e x^{2}-1=2{,}25-1=1{,}25>0. Tudo ok.
  • Pegando x=0\notin domínio: o termo do log dá x^{2}-1=-1<0, então o log não existe — portanto 0 não está no domínio.
  • Pegando x=2\notin domínio: \sqrt{4-4}=0 no denominador — inválido.

Resposta

(-2,-1)\cup(1,2)

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