Determine o domínio das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede determinar o domínio da função
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A expressão contém uma raiz quadrada
no denominador. - A expressão contém um logaritmo natural
. - A tarefa é encontrar todos os valores de
para os quais está bem definida (ou seja, o domínio).
Passo 2
Regras que valem para cada parte da expressão (explicadas com calma):
- Para a raiz quadrada
o radicando deve ser maior ou igual a zero: Porém, como essa raiz aparece no denominador, não podemos ter denominador zero. Então precisamos da condição estrita Vamos resolver essa desigualdade passo a passo: A solução de é Comentário didático: quando se resolve com , a solução é . Aqui .
Passo 3
Agora a condição para o logaritmo natural: o argumento do log deve ser positivo:
Resolvendo essa desigualdade:
Fazendo a análise de sinais (ou lembrando do padrão para
):
- As raízes são
e . - O produto
é positivo quando ou quando .
Portanto
Comentário didático: entre
e
o quadrado é menor que
, então
e o log não existe ali.
Passo 4
Agora combinamos as duas condições: precisamos dos
que satisfazem simultaneamente
e
Intersecando os intervalos:
- Interseção de
com é . - Interseção de
com é .
Logo a interseção total é
Observação sobre os extremos: os pontos
são todos excluídos porque em
e
o denominador seria zero, e em
e
o argumento do log seria zero (ou negativo ao se aproximar), então nenhum desses pontos é permitido.
Passo 5
Verificação rápida com exemplos (para ganhar confiança):
- Pegando
: e . Tudo ok. - Pegando
domínio: o termo do log dá , então o log não existe — portanto não está no domínio. - Pegando
domínio: no denominador — inválido.