Use séries de potências para determinar as soluções
dos problemas abaixo(retome o Exercício 20 da Lista 1):
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma equação diferencial que envolve séries de potências. O enunciado é:
Aqui, a matéria principal é Equações Diferenciais, e vamos usar Séries de Potências para encontrar a solução
. Para isso, vamos precisar expandir as funções envolvidas em séries e resolver termo a termo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma série de potências para
é:
Isso vai nos ajudar a representar a parte não homogênea da equação como uma série infinita, facilitando a solução.
Passo 3
Assumimos que a solução
pode ser escrita como uma série de potências:
Nosso objetivo é encontrar os coeficientes
que satisfazem a equação diferencial.
Passo 4
Agora, derivamos
em relação a
:
Vamos reescrever a série para que os índices fiquem alinhados:
Passo 5
Substituímos
e
na equação diferencial original:
Agora, vamos combinar as séries do lado esquerdo:
Passo 6
Para que as duas séries sejam iguais, os coeficientes de
devem ser iguais para cada
. Portanto, temos a relação de recorrência:
Resolvendo para
:
Passo 7
Vamos usar a condição inicial
para encontrar
. Sabemos que:
Com isso, já temos o primeiro coeficiente.
Passo 8
Agora, vamos calcular os próximos coeficientes usando a relação de recorrência:
Para
:
Para
:
Para
:
E assim por diante.
Passo 9
Observando os coeficientes calculados, percebemos um padrão que nos permite expressar
de forma geral. Após alguns cálculos, encontramos que:
Passo 10
Com os coeficientes determinados, podemos escrever a solução
como:
Isso é exatamente a série de Taylor para
, então:
Resposta
A solução da equação diferencial dada é: