Use séries de potências para determinar as soluções y(x) dos problemas abaixo(retome o Exercício 20 da Lista 1):
y^prime-y=e^x, y(0)=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma equação diferencial que envolve séries de potências. O enunciado é:
y^prime - y = e^x, y(0) = 0
Aqui, a matéria principal é Equações Diferenciais, e vamos usar Séries de Potências para encontrar a solução . Para isso, vamos precisar expandir as funções envolvidas em séries e resolver termo a termo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma série de potências para e^x = sumn=0^infty x^nn! é:
Isso vai nos ajudar a representar a parte não homogênea da equação como uma série infinita, facilitando a solução.

Passo 3

Assumimos que a solução y(x) = sumn=0^infty anx^n pode ser escrita como uma série de potências:
Nosso objetivo é encontrar os coeficientes que satisfazem a equação diferencial.

Passo 4

Agora, derivamos y^prime(x) = sumn=1^infty ann x^n-1 em relação a y^prime(x) = sumn=0^infty an+1(n+1) x^n :
Vamos reescrever a série para que os índices fiquem alinhados:

Passo 5

Substituímos sumn=0^infty an+1(n+1) x^n - sumn=0^infty anx^n = sumn=0^infty x^nn! e sumn=0^infty [ an+1(n+1) - an ] x^n = sumn=0^infty x^nn! na equação diferencial original:
Agora, vamos combinar as séries do lado esquerdo:

Passo 6

Para que as duas séries sejam iguais, os coeficientes de an+1(n+1) - an = 1n! devem ser iguais para cada an+1 = an + 1n!n+1 . Portanto, temos a relação de recorrência:
Resolvendo para :

Passo 7

Vamos usar a condição inicial y(0) = a0 = 0 para encontrar . Sabemos que:
Com isso, já temos o primeiro coeficiente.

Passo 8

Agora, vamos calcular os próximos coeficientes usando a relação de recorrência:
Para a1 = a0 + 10!1 = 0 + 11 = 1 :
a2 = a1 + 11!2 = 1 + 12 = 1
Para a3 = a2 + 12!3 = 1 + 123 = 36 = 12 :
Para :
E assim por diante.

Passo 9

Observando os coeficientes calculados, percebemos um padrão que nos permite expressar an = 1n! de forma geral. Após alguns cálculos, encontramos que:

Passo 10

Com os coeficientes determinados, podemos escrever a solução y(x) = sumn=0^infty x^nn! como:
y(x) = e^x
Isso é exatamente a série de Taylor para , então:

Resposta

A solução da equação diferencial dada é:
y(x) = e^x

Exercícios relacionados