Encontre o domínio da função, descreva as curvas de nível, encontre a fronteira do domínio da função, determine se o domínio é uma região aberta, fechada ou nenhuma das duas e decida se o domínio é limitado ou não.
f(x, y)=4 x^2+9 y^2

Passo 1

O enunciado pede várias informações sobre a função
f(x,y)=4x^2+9y^2
Em particular, vamos achar
  1. o domínio de f,
  2. as curvas de nível f(x,y)=kappa,
  3. a fronteira do domínio,
  4. determinar se o domínio é aberto, fechado ou nenhum dos dois,
  5. decidir se o domínio é limitado ou não.

Passo 2

Como f é um polinômio em x e y, não há nenhuma restrição de divisão por zero ou raiz de índice par de número negativo. Logo o domínio é todo o plano:
D = (x,y)inR^2

Passo 3

As curvas de nível são dadas por
4x^2+9y^2 = kappa
  • Se kappa<0, não existem pontos reais que satisfaçam a equação.
  • Se kappa=0, só há o ponto (0,0).
  • Se kappa>0, temos uma elipse centrada na origem, com equação equivalente a
x^2kappa/4 ;+;y^2kappa/9 ;=;1,
ou seja, semieixo em x igual a raizkappa/2 e semieixo em y igual a raizkappa/3.

Passo 4

A fronteira de um conjunto D é Dsetminusint(D). Aqui D=R^2 é simultaneamente seu próprio fecho e sua própria parte interior, portanto
partial D = emptyset

Passo 5

Como todo ponto de R^2 é interior a D, o domínio é aberto. Note que, no espaço R^2, R^2 também é fechado, mas o que nos interessa é que D não possui fronteira, logo é aberto.

Passo 6

O domínio é ilimitado, pois estende-se por todo o plano e não cabe dentro de nenhum disco de raio finito.

Resposta

Domínio: R^2
Curvas de nível: para kappa<0 vazio, para kappa=0 ponto (0,0), para kappa>0 elipses
x^2kappa/4 + y^2kappa/9 = 1
Fronteira: emptyset
O domínio é aberto (não há fronteira)
O domínio é não limitado.

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