Encontre o domínio da função, descreva as curvas de nível, encontre a fronteira do domínio da função, determine se o domínio é uma região aberta, fechada ou nenhuma das duas e decida se o domínio é limitado ou não.
Passo 1
O enunciado pede várias informações sobre a função
Em particular, vamos achar
o domínio de ,
as curvas de nível ,
a fronteira do domínio,
determinar se o domínio é aberto, fechado ou nenhum dos dois,
decidir se o domínio é limitado ou não.
Passo 2
Como é um polinômio em e , não há nenhuma restrição de divisão por zero ou raiz de índice par de número negativo. Logo o domínio é todo o plano:
Passo 3
As curvas de nível são dadas por
Se , não existem pontos reais que satisfaçam a equação.
Se , só há o ponto .
Se , temos uma elipse centrada na origem, com equação equivalente a
ou seja, semieixo em igual a e semieixo em igual a .
Passo 4
A fronteira de um conjunto é . Aqui D=R^2 é simultaneamente seu próprio fecho e sua própria parte interior, portanto
partial D = emptyset
Passo 5
Como todo ponto de R^2 é interior a D, o domínio é aberto. Note que, no espaço R^2, R^2 também é fechado, mas o que nos interessa é que D não possui fronteira, logo é aberto.
Passo 6
O domínio é ilimitado, pois estende-se por todo o plano e não cabe dentro de nenhum disco de raio finito.
Resposta
Domínio: R^2
Curvas de nível: para kappa<0 vazio, para kappa=0 ponto (0,0), para kappa>0 elipses
x^2kappa/4 + y^2kappa/9 = 1
Fronteira: emptyset
O domínio é aberto (não há fronteira)
O domínio é não limitado.