Determine a região do plano X Y no qual a função f(x, y) é contínua:
f(x, y)=xraizx^2+y^2.

Passo 1

O enunciado pede em que pontos do plano XY a função
f(x,y)=xraizx^2+y^2
é contínua. Este é um problema de domínio e continuidade de função de duas variáveis, usando composição de funções elementares (projeção x, soma de quadrados, raiz quadrada e divisão).

Passo 2

Para saber onde f está definida, precisamos que o denominador raizx^2+y^2 exista e seja diferente de zero.
  1. A expressão x^2+y^2 é sempre >=0, então raizx^2+y^2 está bem definida sempre.
  2. Como usamos essa raiz no denominador, exigimos
raizx^2+y^2neq 0 Long<=ftrightarrow x^2+y^2>0
Logo o domínio de f é
D = (x,y)in R^2mid x^2+y^2>0,
ou seja, todo o plano exceto a origem (0,0).

Passo 3

Sabemos que
  • a projeção (x,y)mapsto x é contínua em R^2,
  • a soma de quadrados (x,y)mapsto x^2+y^2 é contínua,
  • a raiz quadrada tmapstoraizt é contínua em (0,infty),
  • a divisão (u,v)mapsto u/v é contínua sempre que vneq0.
Como f é a composição dessas funções em pontos onde raizx^2+y^2neq0, concluímos que f é contínua em todo o domínio D.

Resposta

A função f(x,y)=x/raizx^2+y^2 é contínua em todos os pontos (x,y) tais que
x^2+y^2>0,
ou seja, em todo o plano XY exceto na origem (0,0).

Exercícios relacionados