(i) encontre o domínio da função, (ii) encontre a imagem da função, (iii) descreva as curvas de nível da função, (iv) encontre a fronteira do domínio da função, (v) determine se o domínio é uma região aberta, fechada ou nenhuma das duas, e (vi) decida se o domínio é limitado ou ilimitado.
a) f(x, y)=y-x
b) f(x, y)=1raiz16-x^2-y^2
c) f(x, y)=raiz9-x^2-y^2
d) f(x, y)=ln (x^2+y^2)
e) f(x, y)=e^-(x^2+y^2)
f) f(x, y)=sin ^-1(y-x)
g) f(x, y)=tan ^-1(yx)

Passo 1

O enunciado nos dá sete funções de R^2 em R e pede para cada uma:
(i) domínio, (ii) imagem, (iii) curvas de nível, (iv) fronteira do domínio, (v) classificar o domínio como aberto/fechado/nenhum, (vi) determinar se o domínio é limitado ou não.
Usaremos: identificação do domínio pela validade das expressões, cálculo da imagem pelo comportamento das funções, definição de curvas de nível via f(x,y)=c, conceito de fronteira de um conjunto em R^2, e critérios de aberto/fechado e limitado.

Passo 2

Para f(x,y)=y-x:
  • Domínio: R^2.
  • Imagem: R, pois y-x pode assumir qualquer valor real.
  • Curvas de nível: para kinR,
y - x = k,
retas de inclinação 1 deslocadas.
  • Fronteira do domínio: como o domínio é R^2, sua fronteira em R^2 é vazia.
  • O domínio é simultaneamente aberto e fechado em R^2.
  • O domínio é ilimitado.

Passo 3

Para f(x,y)=1raiz16 - x^2 - y^2:
  • Domínio: 16 - x^2 - y^2 > 0, isto é, interior do círculo x^2 + y^2 < 16.
  • Imagem: como r=raizx^2+y^2in[0,4), temos raiz16-r^2in(0,4] e
fin l[tfrac14,inftyr)
  • Curvas de nível: para c>=tfrac14,
1raiz16 - x^2 - y^2 = c Long<=ftrightarrow x^2 + y^2 = 16 - tfrac1c^2,
círculos de raio raiz16 - 1/c^2.
  • Fronteira do domínio: x^2 + y^2 =16.
  • O domínio é aberto.
  • O domínio é limitado (raio 4).

Passo 4

Para f(x,y)=raiz9 - x^2 - y^2:
  • Domínio: 9 - x^2 - y^2 >= 0, i.e.\ x^2 + y^2 <= 9, disco fechado de raio 3.
  • Imagem: como 9 - r^2in[0,9], temos
fin[0,3]
  • Curvas de nível: para cin[0,3],
raiz9 - x^2 - y^2 = c Long<=ftrightarrow x^2 + y^2 = 9 - c^2,
círculos de raio raiz9 - c^2.
  • Fronteira do domínio: x^2 + y^2 =9.
  • O domínio é fechado.
  • O domínio é limitado.

Passo 5

Para f(x,y)=lnl(x^2 + y^2r):
  • Domínio: x^2 + y^2 > 0, ou seja, R^2setminus(0,0).
  • Imagem: x^2+y^2in(0,infty) implica
ln(x^2+y^2)in(-infty,infty)
  • Curvas de nível: para kinR,
ln(x^2 + y^2) = k Long<=ftrightarrow x^2 + y^2 = e^k,
círculos de raio raize^k.
  • Fronteira do domínio: o ponto (0,0).
  • O domínio é aberto.
  • O domínio é ilimitado.

Passo 6

Para f(x,y)=sin^-1(y - x):
  • Domínio: -1 <= y - x <= 1, faixa fechada entre as retas y - x = pm1.
  • Imagem: sin^-1 varia em l[-tfracpi2,tfracpi2r].
  • Curvas de nível: para kin[-tfracpi2,tfracpi2],
sin^-1(y - x) = k Long<=ftrightarrow y - x = sin k,
retas paralelas.
  • Fronteira do domínio: y - x = 1 e y - x = -1.
  • O domínio é fechado.
  • O domínio é ilimitado.

Passo 7

Para f(x,y)=tan^-1!l(tfrac yxr):
  • Domínio: x neq 0, i.e.\ R^2 sem a reta x=0.
  • Imagem: tan^-1 toma valores em l(-tfracpi2,tfracpi2r).
  • Curvas de nível: para kin(-tfracpi2,tfracpi2),
tan^-1!l(tfrac yxr) = k Long<=ftrightarrow y = xtan k,
retas passando pela origem com inclinação tan k.
  • Fronteira do domínio: a reta x=0.
  • O domínio é aberto.
  • O domínio é ilimitado.

Resposta

a) Domínio R^2, imagem R, curvas de nível y-x=k, fronteira emptyset, aberto e fechado, ilimitado.
b) Domínio x^2+y^2<16, imagem [tfrac14,infty), curvas de nível x^2+y^2=16-1/c^2, fronteira x^2+y^2=16, aberto, limitado.
c) Domínio x^2+y^2<=9, imagem [0,3], curvas x^2+y^2=9-c^2, fronteira x^2+y^2=9, fechado, limitado.
d) Domínio R^2setminus(0,0), imagem R, curvas x^2+y^2=e^k, fronteira (0,0), aberto, ilimitado.
e) Domínio R^2, imagem (0,1], curvas x^2+y^2=-ln c, fronteira emptyset, aberto e fechado, ilimitado.
f) Domínio -1<= y-x<=1, imagem [-tfracpi2,tfracpi2], curvas y-x=sin k, fronteira y-x=pm1, fechado, ilimitado.
g) Domínio xneq0, imagem (-tfracpi2,tfracpi2), curvas y=xtan k, fronteira x=0, aberto, ilimitado.

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