(i) encontre o domínio da função, (ii) encontre a imagem da função, (iii) descreva as curvas de nível da função, (iv) encontre a fronteira do domínio da função, (v) determine se o domínio é uma região aberta, fechada ou nenhuma das duas, e (vi) decida se o domínio é limitado ou ilimitado.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
Passo 1
O enunciado nos dá sete funções de
em
e pede para cada uma:
(i) domínio, (ii) imagem, (iii) curvas de nível, (iv) fronteira do domínio, (v) classificar o domínio como aberto/fechado/nenhum, (vi) determinar se o domínio é limitado ou não.
Usaremos: identificação do domínio pela validade das expressões, cálculo da imagem pelo comportamento das funções, definição de curvas de nível via , conceito de fronteira de um conjunto em
, e critérios de aberto/fechado e limitado.
(i) domínio, (ii) imagem, (iii) curvas de nível, (iv) fronteira do domínio, (v) classificar o domínio como aberto/fechado/nenhum, (vi) determinar se o domínio é limitado ou não.
Usaremos: identificação do domínio pela validade das expressões, cálculo da imagem pelo comportamento das funções, definição de curvas de nível via
Passo 2
Para
:
- Domínio:
. - Imagem:
, pois pode assumir qualquer valor real. - Curvas de nível: para
,
retas de inclinação
deslocadas.
- Fronteira do domínio: como o domínio é
, sua fronteira em é vazia. - O domínio é simultaneamente aberto e fechado em
. - O domínio é ilimitado.
Passo 3
Para
:
- Domínio:
, isto é, interior do círculo . - Imagem: como
, temos e
- Curvas de nível: para
,
círculos de raio
.
- Fronteira do domínio:
. - O domínio é aberto.
- O domínio é limitado (raio
).
Passo 4
Para
:
- Domínio:
, i.e.\ , disco fechado de raio . - Imagem: como
, temos
- Curvas de nível: para
,
círculos de raio
.
- Fronteira do domínio:
. - O domínio é fechado.
- O domínio é limitado.
Passo 5
Para
:
- Domínio:
, ou seja, . - Imagem:
implica
- Curvas de nível: para
,
círculos de raio
.
- Fronteira do domínio: o ponto
. - O domínio é aberto.
- O domínio é ilimitado.
Passo 6
Para
:
- Domínio:
, faixa fechada entre as retas . - Imagem:
varia em . - Curvas de nível: para
,
retas paralelas.
- Fronteira do domínio:
e . - O domínio é fechado.
- O domínio é ilimitado.
Passo 7
Para
:
- Domínio:
, i.e.\ sem a reta . - Imagem:
toma valores em . - Curvas de nível: para
,
retas passando pela origem com inclinação
.
- Fronteira do domínio: a reta
. - O domínio é aberto.
- O domínio é ilimitado.
Resposta
a) Domínio
, imagem
, curvas de nível
, fronteira
, aberto e fechado, ilimitado.
b) Domínio , imagem
, curvas de nível
, fronteira
, aberto, limitado.
c) Domínio , imagem
, curvas
, fronteira
, fechado, limitado.
d) Domínio , imagem
, curvas
, fronteira
, aberto, ilimitado.
e) Domínio , imagem
, curvas
, fronteira
, aberto e fechado, ilimitado.
f) Domínio , imagem
, curvas
, fronteira
, fechado, ilimitado.
g) Domínio , imagem
, curvas
, fronteira
, aberto, ilimitado.
b) Domínio
c) Domínio
d) Domínio
e) Domínio
f) Domínio
g) Domínio