Encontre o domínio da função.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar o domínio da função $ f(u) = \frac{1}{\sqrt[4]{u^{2}-5u}} $. Isso envolve conhecimentos de funções, raízes e frações. Para resolver, vamos determinar os valores de $ u $ que tornam a função definida, ou seja, onde o denominador não é zero e a expressão dentro da raiz existe.
Passo 2
Começamos olhando para o denominador: $ \sqrt[4]{u^{2} - 5u} $. Para a raiz de índice par (neste caso, quarta raiz) ser real, o radicando (expressão dentro da raiz) precisa ser positivo, pois raízes de índices pares não aceitam números negativos. Então, temos que:
Passo 3
Resolvemos essa inequação quadrática. Primeiro, fatoramos:
Isso nos diz que o produto de $ u $ e $ (u - 5) $ precisa ser positivo. Para determinar onde isso acontece, analisamos os intervalos delimitados pelas raízes $ u = 0 $ e $ u = 5 $.
Passo 4
Vamos analisar os intervalos:
- $ u < 0 $: Escolhemos $ u = -1 $. Substituindo na expressão: $ (-1)(-1 - 5) = (-1)(-6) = 6 > 0 $.
- $ 0 < u < 5 $: Escolhemos $ u = 2 $. Substituindo: $ 2(2 - 5) = 2(-3) = -6 < 0 $.
- $ u > 5 $: Escolhemos $ u = 6 $. Substituindo: $ 6(6 - 5) = 6(1) = 6 > 0 $.
Passo 5
Da análise, a expressão $ u^{2} - 5u $ é positiva nos intervalos $ u < 0 $ e $ u > 5 $. Portanto, a função está definida nesses intervalos.
Passo 6
Além disso, precisamos garantir que o denominador não seja zero. Portanto, excluímos os valores que zeram $ u^{2} - 5u $, ou seja, $ u = 0 $ e $ u = 5 $.
Resposta
O domínio da função $ f(u) $ é $ u \in (-\infty, 0) \cup (5, +\infty) $.