Encontre o domínio da função.
f(x)=\frac{2 x-1}{x^{2}-4}

Passo 1

O enunciado pede: encontrar o domínio da função dada por
f(x)=\frac{2x-1}{x^{2}-4}.
Informações fornecidas:
  • A função é uma função racional definida por uma fração de polinômios.
  • Não foram dadas restrições adicionais (assume-se domínio real).
  • Portanto precisamos determinar todos os valores reais de x para os quais a expressão faz sentido (isto é, onde a função está definida).

Passo 2

Regra importante (explicação didática): para uma função racional da forma \dfrac{P(x)}{Q(x)}, onde P e Q são polinômios, a função está definida para todos os x tais que Q(x)\neq0. Ou seja, o único problema são os zeros do denominador, porque dividir por zero não é permitido. Então aqui devemos resolver a condição
x^{2}-4 \neq 0.

Passo 3

Resolver a equação x^{2}-4=0 para encontrar os pontos proibidos. Reconheça que x^{2}-4 é uma diferença de quadrados; use a fatoração
x^{2}-4=(x-2)(x+2).
A equação x^{2}-4=0 é equivalente a (x-2)(x+2)=0, que ocorre quando x-2=0 ou x+2=0. Logo os valores que anulam o denominador são
x=2\quad\text{e}\quad x=-2.

Passo 4

Verificação e comentário didático: às vezes o numerador compartilha um fator com o denominador e pode ocorrer cancelamento. Nesses casos o ponto cancelado continua proibido no domínio se a função for dada originalmente pela fração, pois a expressão original não está definida lá (seria uma descontinuidade removível). Aqui o numerador é 2x-1. Avaliando nos pontos proibidos:
2(2)-1=3\neq0,\qquad 2(-2)-1=-5\neq0.
Portanto não há fator comum com o denominador e os pontos x=\pm2 continuam proibidos.

Passo 5

Conclusão (montagem do domínio): a função está definida para todos os reais exceto x=2 e x=-2. Em notação de conjunto:
\mathcal{D}=\mathbb{R}\setminus\{-2,2\}.
Em notação intervalar:
\mathcal{D}=(-\infty,-2)\cup(-2,2)\cup(2,\infty).

Resposta

\mathbb{R}\setminus\{-2,2\}

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