Esboce as regiões do plano x y definidas pelas equações ou inequações.
|x+4|+|y-2|<2

Passo 1

O enunciado pede que eu esboce a região do plano xy definida pela inequação
|x+4|+|y-2|<2.
Informações dadas:
  • A desigualdade envolve somas de valores absolutos em x e y.
  • Não há outros dados numéricos além do número 2.
    O objetivo é desenhar (esboçar) no plano xy todos os pontos (x,y) que satisfazem a inequação acima.

Passo 2

Uma ideia muito útil com expressões do tipo |x-a|+|y-b|<R é fazer uma mudança de coordenadas para centrar a figura. Defino
u = x+4,\qquad v = y-2.
Isso apenas desloca o plano: o ponto (x,y)=(-4,2) vira (u,v)=(0,0). Substituindo na inequação obtemos
|u|+|v|<2.
Explicando geometricamente: |u|+|v| é a distância no sentido “Manhattan” (norma L^1) do ponto (u,v) até a origem. A condição |u|+|v|<2 diz: todos os pontos cuja distância L^1 à origem é menor que 2. Essa figura é um losango (um quadrado rotacionado de 45^\circ em relação às direções u,v) centrado em (0,0) cujos vértices, no sistema (u,v), são (\pm 2,0) e (0,\pm 2).

Passo 3

Agora volto às coordenadas (x,y). As quatro vértices em (u,v) correspondem a:
(u,v)=(2,0)\mapsto (x,y)=(-4+2,\,2+0)=(-2,2),
(u,v)=(-2,0)\mapsto (x,y)=(-6,2),
(u,v)=(0,2)\mapsto (x,y)=(-4,4),
(u,v)=(0,-2)\mapsto (x,y)=(-4,0).
Portanto os vértices do losango no plano xy são
(-2,2),\qquad (-6,2),\qquad (-4,4),\qquad (-4,0).

Passo 4

Para entender as arestas (lados) do losango podemos escrever a condição em forma de casos (quatro sinais possíveis para u e v). As retas de contorno são dadas pelas igualdades
|u|+|v|=2,
que, revertendo para x,y, são as quatro retas
x+y=0,\qquad x+y=-4,\qquad y=x+4,\qquad y=x+8.
Essas retas se intersectam nos quatro vértices listados no passo anterior, formando um losango cujos lados têm pendentes \pm 1. A desigualdade estrita |x+4|+|y-2|<2 indica que a região pedida é o interior desse losango (ou seja, o losango aberto, sem as suas arestas).

Passo 5

Como esboçar passo a passo (dicas práticas para a prova):
  • Plote o centro (-4,2).
  • Marque os quatro vértices calculados (-2,2),(-6,2),(-4,4),(-4,0).
  • Ligue-os em ordem para formar um losango (linhas com inclinações +1 e -1).
  • Sombree o interior do losango, lembrando que a desigualdade é estrita (não sombrear as próprias bordas).

Resposta

A região é o interior do losango (aberto) com vértices (-2,2), (-4,4), (-6,2) e (-4,0).

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