Esboce as regiões do plano
definidas pelas equações ou inequações.
Passo 1
O enunciado pede que eu esboce a região do plano
definida pela inequação
Informações dadas:
- A desigualdade envolve somas de valores absolutos em
e . - Não há outros dados numéricos além do número
.
O objetivo é desenhar (esboçar) no planotodos os pontos que satisfazem a inequação acima.
Passo 2
Uma ideia muito útil com expressões do tipo
é fazer uma mudança de coordenadas para centrar a figura. Defino
Isso apenas desloca o plano: o ponto
vira
. Substituindo na inequação obtemos
Explicando geometricamente:
é a distância no sentido “Manhattan” (norma
) do ponto
até a origem. A condição
diz: todos os pontos cuja distância
à origem é menor que
. Essa figura é um losango (um quadrado rotacionado de
em relação às direções
) centrado em
cujos vértices, no sistema
, são
e
.
Passo 3
Agora volto às coordenadas
. As quatro vértices em
correspondem a:
Portanto os vértices do losango no plano
são
Passo 4
Para entender as arestas (lados) do losango podemos escrever a condição em forma de casos (quatro sinais possíveis para
e
). As retas de contorno são dadas pelas igualdades
que, revertendo para
, são as quatro retas
Essas retas se intersectam nos quatro vértices listados no passo anterior, formando um losango cujos lados têm pendentes
. A desigualdade estrita
indica que a região pedida é o interior desse losango (ou seja, o losango aberto, sem as suas arestas).
Passo 5
Como esboçar passo a passo (dicas práticas para a prova):
- Plote o centro
. - Marque os quatro vértices calculados
. - Ligue-os em ordem para formar um losango (linhas com inclinações
e ). - Sombree o interior do losango, lembrando que a desigualdade é estrita (não sombrear as próprias bordas).
Resposta
A região é o interior do losango (aberto) com vértices
,
,
e
.