Encontre o domínio da função.
g(x)=\frac{\sqrt{x}}{2-x}

Passo 1

O enunciado dá a função g(x)=\dfrac{\sqrt{x}}{2-x} e pede o domínio dessa função.
Informações importantes fornecidas:
  • O numerador é \sqrt{x}.
  • O denominador é 2-x.
    A pergunta é: para quais valores de x a expressão g(x) está bem definida como número real?

Passo 2

Identificar as restrições que impedem g(x) de estar definida (essas são as únicas causas de exclusão aqui):
  1. A raiz quadrada \sqrt{x} exige que o radicando seja não negativo; ou seja, precisa valer \,x\ge 0. Vou explicar: a função \sqrt{\cdot} que usamos em cálculo real só aceita argumentos \ge 0, porque \sqrt{y} não é um número real quando y<0.
  2. A divisão exige que o denominador seja diferente de zero; ou seja, 2-x\neq 0. Vou explicar: divisão por zero é indefinida na aritmética dos reais, então qualquer x que faça 2-x=0 tem de ser excluído.

Passo 3

Resolver a primeira condição: \sqrt{x} existe para todos os x tais que
x\ge 0.
Em notação de intervalos, isso corresponde a [0,\infty).

Passo 4

Resolver a segunda condição: o denominador não pode ser zero, então
2-x\neq 0 \quad\Longleftrightarrow\quad x\neq 2.
Em notação de conjuntos, isso é \mathbb{R}\setminus\{2\}.

Passo 5

Combinar as duas condições: o x deve satisfazer simultaneamente x\ge 0 e x\neq 2. Portanto o domínio é a interseção
[0,\infty)\cap\big(\mathbb{R}\setminus\{2\}\big)=\{x\ge0 \mid x\neq2\}.

Passo 6

Escrever o domínio em notação de intervalos e verificar bordas:
  • 0 está permitido: \sqrt{0}=0 e 2-0=2\neq0.
  • 2 está proibido porque 2-2=0 (divisão por zero).
    Logo o domínio em intervalos é [0,2)\cup(2,\infty).

Resposta

\mathrm{Dom}(g)=[0,2)\cup(2,\infty)

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