Encontre o domínio da função:
f(x)=\frac{x}{3 x-1}

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=\dfrac{x}{3x-1} e pede para encontrar o domínio dela.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é uma fração racional com numerador x e denominador 3x-1.
  • A pergunta é: para quais valores de x a expressão está bem definida (domínio)?

Passo 2

O que significa “domínio” aqui (explicação didática):
  • O domínio de uma função real é o conjunto de todos os valores reais de x para os quais a expressão que define a função faz sentido e resulta num número real.
  • No caso de uma fração, a única preocupação típica é o denominador: não se pode dividir por zero. Portanto devemos exigir que o denominador seja diferente de zero. Em linguagem matemática: procurar x tais que o denominador \neq 0.

Passo 3

Identificar e analisar o denominador: o denominador é 3x-1. Impor a condição de não anulação:
3x-1 \neq 0.
Agora resolvemos essa desigualdade/equação para encontrar o valor proibido. Primeiro igualamos a zero para achar onde ocorre o problema:
3x-1=0.
Some 1 dos dois lados:
3x=1.
Divida ambos os lados por 3:
x=\dfrac{1}{3}.
Portanto quando x=\dfrac{1}{3} o denominador zera e a função não está definida.

Passo 4

Concluir o domínio: excluímos x=\dfrac{1}{3} do conjunto dos reais. Em notações usuais isso fica:
  • Notação com conjunto: \mathbb{R}\setminus\{\tfrac{1}{3}\}.
  • Notação em intervalos: (-\infty,\tfrac{1}{3})\cup(\tfrac{1}{3},\infty).
Exemplo rápido para ganhar confiança: \displaystyle f(0)=\frac{0}{3\cdot0-1}=\frac{0}{-1}=0 (ok), e \displaystyle f(1)=\frac{1}{3\cdot1-1}=\frac{1}{2} (ok). Mas se tentarmos x=\tfrac{1}{3} teríamos divisão por zero, por isso esse valor é proibido.

Passo 5

Dica para a prova (rápida e prática): sempre que aparecer uma função na forma de fração, já olhe só para o denominador e resolva \text{denominador} \neq 0. Se houver raiz par, logaritmo etc., aplique também as restrições correspondentes (raiz: radicando \ge 0; log: argumento >0). Aqui só havia a restrição do denominador.

Resposta

\mathbb{R}\setminus\{\tfrac{1}{3}\} = (-\infty,\tfrac{1}{3})\cup(\tfrac{1}{3},\infty)

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