Encontre o domínio da função f(x)=\sqrt{(x-3)(4-x)}
Passo 1
O enunciado dá a função f(x)=\sqrt{(x-3)(4-x)} e pede: qual é o domínio de f?\n
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:\n
A expressão dentro da raiz (o radicando) é (x-3)(4-x).\n
A raiz que aparece é uma raiz quadrada real (símbolo \sqrt{\;\;}), então a função só está definida para valores de x em que o radicando for um número real permitido pela raiz.
Passo 2
Conceito importante (mini-aula): para uma raiz quadrada real \sqrt{A} estar definida (no conjunto dos números reais), é necessário e suficiente que o radicando A seja maior ou igual a zero. Ou seja, devemos ter
A \ge 0.
Aqui o radicando é A=(x-3)(4-x). Logo, a condição para x pertencer ao domínio é
(x-3)(4-x)\ge 0.
Explico: o símbolo \ge significa “maior ou igual”. Se o produto for positivo, a raiz resulta num número real positivo; se for zero, a raiz resulta em 0, também permitido; se for negativo, a raiz não é um número real.
Passo 3
Vamos resolver a desigualdade
(x-3)(4-x)\ge 0.
Primeiro encontramos os pontos onde o produto é zero, pois eles são as fronteiras possíveis entre sinais diferentes. Resolvendo
(x-3)(4-x)=0
obtemos as soluções \,x=3 e \,x=4. Esses são os pontos críticos que dividem a reta real em intervalos.
Passo 4
Agora fazemos uma análise de sinal em cada intervalo formado pelos pontos críticos \,x=3 e \,x=4. Os intervalos são:
(-\infty,3),\qquad (3,4),\qquad (4,\infty).
Escolhemos um ponto teste em cada intervalo e calculamos o sinal de (x-3)(4-x).
Conclusão da desigualdade: (x-3)(4-x) é não negativo apenas no intervalo onde o teste deu positivo e também nos pontos onde o produto é zero. Portanto a condição (x-3)(4-x)\ge 0 é satisfeita exatamente quando
x\in[3,4].
Observação: os extremos x=3 e x=4 são incluídos porque nesses pontos o radicando vale 0 e \sqrt{0}=0 é permitido.
Passo 6
Pequeno reforço (exemplo parecido): para a função \sqrt{(x-1)(2-x)} faríamos exatamente o mesmo: zeros em x=1 e x=2, sinal positivo entre eles, logo domínio [1,2]. Isso mostra o mesmo padrão: produto de dois fatores lineares com sinais opostos costuma ser não negativo apenas entre as raízes.