encontre a solução geral para a equação diferencial dada.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a solução geral da equação diferencial
Informações dadas e o que se pede:
- É uma equação diferencial de segunda ordem, linear, com coeficientes constantes.
- O termo do lado direito (forçante) é
. - Objetivo: encontrar a solução geral
válida para todos os , ou seja, a soma da solução geral da homogênea e de uma solução particular da não-homogênea.
Passo 2
Primeiro vamos resolver a equação homogênea associada:
Para equações lineares com coeficientes constantes usamos a equação característica. Substituímos
e obtemos a equação polinomial em
:
Resolvendo o polinômio:
portanto
é raiz de multiplicidade
. Para uma raiz real
de multiplicidade
, a forma geral das soluções da homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias. (Explicação curta: para cada raiz simples
temos
; se a raiz tem multiplicidade
adicionamos potências de
até
.)
Passo 3
Agora precisamos de uma solução particular
da equação não-homogênea
Escolho o método dos coeficientes indeterminados porque o lado direito é um exponencial simples
— esse método é o mais direto e básico aqui. Regra importante: se a função do lado direito é da forma
e
é raiz da equação característica de multiplicidade
, então tentamos uma solução particular do tipo
, onde
é um polinômio do mesmo grau que
. No nosso caso:
-
porque o forçante é . - A raiz
tem multiplicidade (veja Passo 2). - O polinômio
tem grau (é constante). Então experimentamos
com
constante indeterminada a ser encontrada. (Multiplicamos por
por causa da multiplicidade
.)
Passo 4
Vamos calcular as derivadas de
com cuidado (usar regra do produto e ser explícito):
Derivando uma vez (produto
e
):
Derivando de novo:
Passo 5
Substituímos
,
e
no lado esquerdo da equação diferencial:
Usando as expressões encontradas:
Fatoramos
e somamos termos semelhantes:
Agora simplificamos o parêntese:
Portanto
Passo 6
Igualamos
ao lado direito da equação, que é
:
Como
não é identicamente zero, podemos cancelar
e obter:
Logo a solução particular é
Passo 7
A solução geral da equação não-homogênea é a soma da solução complementar (homogênea) com a solução particular:
Podemos factorar
para uma forma mais compacta:
onde
e
são constantes arbitrárias determinadas por condições iniciais (se houver).