encontre a solução geral para a equação diferencial dada.
y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+y=e^{x}

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a solução geral da equação diferencial
y^{\prime\prime}-2y^{\prime}+y=e^{x}.
Informações dadas e o que se pede:
  • É uma equação diferencial de segunda ordem, linear, com coeficientes constantes.
  • O termo do lado direito (forçante) é \,e^{x}.
  • Objetivo: encontrar a solução geral y(x) válida para todos os x, ou seja, a soma da solução geral da homogênea e de uma solução particular da não-homogênea.

Passo 2

Primeiro vamos resolver a equação homogênea associada:
y^{\prime\prime}-2y^{\prime}+y=0.
Para equações lineares com coeficientes constantes usamos a equação característica. Substituímos y=e^{rx} e obtemos a equação polinomial em r:
r^{2}-2r+1=0.
Resolvendo o polinômio:
r^{2}-2r+1=(r-1)^{2}=0,
portanto r=1 é raiz de multiplicidade 2. Para uma raiz real r de multiplicidade 2, a forma geral das soluções da homogênea é
y_{c}(x)=(C_{1}+C_{2}x)e^{x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias. (Explicação curta: para cada raiz simples r temos e^{rx}; se a raiz tem multiplicidade m adicionamos potências de x até x^{m-1}e^{rx}.)

Passo 3

Agora precisamos de uma solução particular y_{p} da equação não-homogênea
y^{\prime\prime}-2y^{\prime}+y=e^{x}.
Escolho o método dos coeficientes indeterminados porque o lado direito é um exponencial simples \,e^{x} — esse método é o mais direto e básico aqui. Regra importante: se a função do lado direito é da forma P(x)e^{ax} e a é raiz da equação característica de multiplicidade s, então tentamos uma solução particular do tipo x^{s}Q(x)e^{ax}, onde Q(x) é um polinômio do mesmo grau que P. No nosso caso:
  • a=1 porque o forçante é e^{x}=1\cdot e^{1\cdot x}.
  • A raiz r=1 tem multiplicidade s=2 (veja Passo 2).
  • O polinômio P(x) tem grau 0 (é constante). Então experimentamos
y_{p}(x)=A x^{2} e^{x},
com A constante indeterminada a ser encontrada. (Multiplicamos por x^{2} por causa da multiplicidade 2.)

Passo 4

Vamos calcular as derivadas de y_{p} com cuidado (usar regra do produto e ser explícito):
y_{p}(x)=A x^{2} e^{x}.
Derivando uma vez (produto x^{2} e e^{x}):
y_{p}^{\prime}(x)=A\big(2x e^{x} + x^{2} e^{x}\big)=A e^{x}\big(x^{2}+2x\big).
Derivando de novo:
y_{p}^{\prime\prime}(x)=A\frac{d}{dx}\big[e^{x}(x^{2}+2x)\big] = A e^{x}\big(x^{2}+2x\big) + A e^{x}\big(2x+2\big) = A e^{x}\big(x^{2}+4x+2\big).

Passo 5

Substituímos y_{p}, y_{p}^{\prime} e y_{p}^{\prime\prime} no lado esquerdo da equação diferencial:
L[y_{p}]=y_{p}^{\prime\prime}-2y_{p}^{\prime}+y_{p}.
Usando as expressões encontradas:
L[y_{p}]=A e^{x}\big(x^{2}+4x+2\big)-2A e^{x}\big(x^{2}+2x\big)+A e^{x}\big(x^{2}\big).
Fatoramos A e^{x} e somamos termos semelhantes:
L[y_{p}]=A e^{x}\Big[(x^{2}+4x+2)-2(x^{2}+2x)+x^{2}\Big].
Agora simplificamos o parêntese:
(x^{2}+4x+2)-2(x^{2}+2x)+x^{2} = x^{2}+4x+2 -2x^{2}-4x + x^{2} = 2.
Portanto
L[y_{p}]=A e^{x}\cdot 2 = 2A e^{x}.

Passo 6

Igualamos L[y_{p}] ao lado direito da equação, que é e^{x}:
2A e^{x} = e^{x}.
Como e^{x} não é identicamente zero, podemos cancelar e^{x} e obter:
2A = 1 \quad\Rightarrow\quad A=\tfrac{1}{2}.
Logo a solução particular é
y_{p}(x)=\tfrac{1}{2}x^{2}e^{x}.

Passo 7

A solução geral da equação não-homogênea é a soma da solução complementar (homogênea) com a solução particular:
y(x)=y_{c}(x)+y_{p}(x)=(C_{1}+C_{2}x)e^{x}+\tfrac{1}{2}x^{2}e^{x}.
Podemos factorar e^{x} para uma forma mais compacta:
y(x)=e^{x}\Big(C_{1}+C_{2}x+\tfrac{1}{2}x^{2}\Big),
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias determinadas por condições iniciais (se houver).

Resposta

y(x)=e^{x}\Big(C_{1}+C_{2}x+\tfrac{1}{2}x^{2}\Big)

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