Encontre o domínio da função
Passo 1
O enunciado pede para encontrar o domínio da função
Informações relevantes que o enunciado dá e o que precisamos verificar:
- A função tem uma raiz quadrada
, então o radicando impõe uma condição sobre . - A função é uma fração, com denominador
, então devemos exigir que esse denominador não seja zero. - O domínio são todos os valores reais de
que satisfazem simultaneamente as condições da raiz quadrada e da não anulação do denominador.
Passo 2
Condição vinda da raiz quadrada: para
estar bem definida em números reais, o radicando precisa ser não negativo. Isso dá a inequação
Agora vou resolver essa inequação passo a passo, bem devagarzinho.
Passo 3
Resolver
. Subtraindo
dos dois lados obtemos
Multiplicando ambos os lados por
(lembrando que ao multiplicar por número negativo a desigualdade inverte o sentido) obtemos
Portanto a condição da raiz quadrada nos dá que
deve estar em
Explicação didática rápida: a expressão
pede que o que está dentro seja maior ou igual a zero; resolvemos a desigualdade normalmente cuidando da inversão ao multiplicar por
.
Passo 4
Condição vinda do denominador: o denominador
não pode ser zero. Então precisamos resolver
Uma fração é indefinida quando o denominador é zero, mesmo que o numerador seja zero ou não, por isso esses
devem ser excluídos do domínio.
Passo 5
Encontrar os zeros do denominador. As soluções de
são aquelas que anulam algum dos fatores:
- Do fator
: temos . - Do fator
: resolvendo dá , que não tem solução real. Outra maneira de ver é notar que para todo , então para todo ; portanto nunca zera em .
Conclusão desta etapa: o único valor real que anula o denominador é
, que deve ser excluído do domínio.
Passo 6
Agora fazemos a interseção das condições: devemos ter
(Passo 3) e, ao mesmo tempo,
(Passo 5). Como
satisfaz
mas é proibido por anular o denominador, a interseção é o conjunto de todos os reais até
, exceto
.
Em termos de intervalos, isso é
Passo 7
Verificações finais para ficar tranquilo na hora da prova:
- Em
temos no numerador e denominador , então é permitido (o valor da função é ali). - Em
o numerador é mas o denominador zera, então é proibido. - Não há outras proibições porque
para todo .