Encontre o domínio da função
h(x)=\frac{\sqrt{4-x}}{(x+1)\left(x^{2}+1\right)}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o domínio da função
h(x)=\frac{\sqrt{4-x}}{(x+1)\left(x^{2}+1\right)}.
Informações relevantes que o enunciado dá e o que precisamos verificar:
  1. A função tem uma raiz quadrada \sqrt{4-x}, então o radicando 4-x impõe uma condição sobre x.
  2. A função é uma fração, com denominador (x+1)\left(x^{2}+1\right), então devemos exigir que esse denominador não seja zero.
  3. O domínio são todos os valores reais de x que satisfazem simultaneamente as condições da raiz quadrada e da não anulação do denominador.

Passo 2

Condição vinda da raiz quadrada: para \sqrt{4-x} estar bem definida em números reais, o radicando precisa ser não negativo. Isso dá a inequação
4-x \ge 0.
Agora vou resolver essa inequação passo a passo, bem devagarzinho.

Passo 3

Resolver \;4-x \ge 0\;. Subtraindo 4 dos dois lados obtemos
-x \ge -4.
Multiplicando ambos os lados por -1 (lembrando que ao multiplicar por número negativo a desigualdade inverte o sentido) obtemos
x \le 4.
Portanto a condição da raiz quadrada nos dá que x deve estar em
(-\infty,4].
Explicação didática rápida: a expressão \sqrt{\cdot} pede que o que está dentro seja maior ou igual a zero; resolvemos a desigualdade normalmente cuidando da inversão ao multiplicar por -1.

Passo 4

Condição vinda do denominador: o denominador (x+1)\left(x^{2}+1\right) não pode ser zero. Então precisamos resolver
(x+1)\left(x^{2}+1\right) \neq 0.
Uma fração é indefinida quando o denominador é zero, mesmo que o numerador seja zero ou não, por isso esses x devem ser excluídos do domínio.

Passo 5

Encontrar os zeros do denominador. As soluções de (x+1)\left(x^{2}+1\right)=0 são aquelas que anulam algum dos fatores:
  • Do fator x+1: temos x+1=0 \Rightarrow x=-1.
  • Do fator x^{2}+1: resolvendo x^{2}+1=0 x^{2}=-1, que não tem solução real. Outra maneira de ver é notar que x^{2}\ge 0 para todo x\in\mathbb{R}, então x^{2}+1\ge 1>0 para todo x\in\mathbb{R}; portanto x^{2}+1 nunca zera em \mathbb{R}.
Conclusão desta etapa: o único valor real que anula o denominador é \;x=-1, que deve ser excluído do domínio.

Passo 6

Agora fazemos a interseção das condições: devemos ter x\le 4 (Passo 3) e, ao mesmo tempo, x\neq -1 (Passo 5). Como x=-1 satisfaz x\le 4 mas é proibido por anular o denominador, a interseção é o conjunto de todos os reais até 4, exceto -1.
Em termos de intervalos, isso é
(-\infty,-1)\cup(-1,4].

Passo 7

Verificações finais para ficar tranquilo na hora da prova:
  • Em x=4 temos \sqrt{4-4}=0 no numerador e denominador (4+1)(4^{2}+1)=5\cdot17\neq0, então x=4 é permitido (o valor da função é 0 ali).
  • Em x=-1 o numerador é \sqrt{4-(-1)}=\sqrt{5}\neq0 mas o denominador zera, então x=-1 é proibido.
  • Não há outras proibições porque x^{2}+1>0 para todo x\in\mathbb{R}.

Resposta

(-\infty,-1)\cup(-1,4]

Exercícios relacionados