O enunciado pede para resolver a equação \left|x^{2}+5x+2\right|=4.
Informações dadas: a expressão dentro do valor absoluto é o polinômio \,x^{2}+5x+2, e o valor absoluto deve ser igual a \,4.
Pergunta: encontrar todos os valores reais de x que satisfazem essa igualdade.
Passo 2
Entendendo a propriedade do valor absoluto que vamos usar: para qualquer expressão A e número não-negativo b, a equação \left|A\right|=b é equivalente às duas equações
A=b
ou
A=-b.
Aqui b=4 (que é não-negativo), então podemos dividir o problema em dois casos:
\text{Caso 1: }x^{2}+5x+2=4
\text{Caso 2: }x^{2}+5x+2=-4
Passo 3
Vamos resolver o Caso 1. Primeiro colocamos em forma padrão (tudo à esquerda):
Novamente é uma quadrática com a=1, b=5, c=6. Calculamos o discriminante:
\Delta=b^{2}-4ac=5^{2}-4\cdot1\cdot6=25-24=1.
Como \Delta=1>0, temos duas raízes reais distintas (e fáceis de calcular). Usando a fórmula:
x=\frac{-5\pm\sqrt{1}}{2}=\frac{-5\pm1}{2}.
Isso dá as raízes
x=\frac{-5-1}{2}=-3
e
x=\frac{-5+1}{2}=-2.
Passo 5
Juntando as soluções de ambos os casos, o conjunto de soluções da equação original é formado por quatro números: \displaystyle \frac{-5-\sqrt{33}}{2}, \displaystyle \frac{-5+\sqrt{33}}{2}, -3 e -2.
Rápida verificação mental: as duas soluções do Caso 1 satisfazem x^{2}+5x+2=4 (portanto o valor absoluto vale 4) e as do Caso 2 satisfazem x^{2}+5x+2=-4 (valor absoluto também 4), então todas são válidas.