Encontre o domínio da função.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede.
- Dada a função
. - Pede-se: encontrar o domínio de
, ou seja, o conjunto de todos os valores de para os quais está bem definida.
Passo 2
Entendendo a condição para a raiz quadrada.
- A raiz quadrada
exige que o radicando seja maior ou igual a zero. Portanto precisamos achar todos os tais que
- Vamos resolver essa desigualdade. Primeiro fatoramos o polinômio:
Aqui
e
são dois fatores cujo produto deve ser não negativo.
Passo 3
Localizando os zeros e fazendo o estudo de sinal.
- Os zeros do radicando são as soluções de
, ou seja,
- Essas raízes dividem a reta real em três intervalos:
, e . Para saber onde o produto é não negativo, avaliamos o sinal dos fatores em cada intervalo: - Para
(ex.: ): é negativo e é negativo, produto negativo×negativo = positivo. Logo para . - Para
(ex.: ): é positivo e é negativo, produto positivo×negativo = negativo. Logo para . - Para
(ex.: ): é positivo e é positivo, produto positivo×positivo = positivo. Logo para .
- Para
- Nas próprias raízes
e o produto vale exatamente zero, e é definido. Portanto esses pontos também pertencem ao domínio.
Passo 4
Conclusão sobre o domínio e notação.
- Reunindo os intervalos onde
, o domínio da função é
- Em forma de conjunto:
.
Passo 5
Comentário rápido e dica para a prova (tomando o lugar do amigo que empurra você pra frente).
- Sempre que tiver uma raiz quadrada de um polinômio, coloque o radicando
e resolva a desigualdade. Se o polinômio fatorar facilmente, use a análise de sinais com as raízes; se não fatorar, use a fórmula quadrática para achar as raízes e depois faça o mesmo estudo de sinal. - Exemplo parecido para treinar: para
repetir o processo dá domínio . Faz aí rapidinho pra fixar!