Encontre o domínio da função.
h(x)=\sqrt{x^{2}-7 x}

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede.
  • Dada a função h(x)=\sqrt{x^{2}-7x}.
  • Pede-se: encontrar o domínio de h, ou seja, o conjunto de todos os valores de x para os quais h(x) está bem definida.

Passo 2

Entendendo a condição para a raiz quadrada.
  • A raiz quadrada \sqrt{\cdot} exige que o radicando seja maior ou igual a zero. Portanto precisamos achar todos os x tais que
x^{2}-7x \ge 0.
  • Vamos resolver essa desigualdade. Primeiro fatoramos o polinômio:
x^{2}-7x = x(x-7).
Aqui x e x-7 são dois fatores cujo produto deve ser não negativo.

Passo 3

Localizando os zeros e fazendo o estudo de sinal.
  • Os zeros do radicando são as soluções de x(x-7)=0, ou seja,
x=0 \quad\text{e}\quad x=7.
  • Essas raízes dividem a reta real em três intervalos: (-\infty,0), (0,7) e (7,\infty). Para saber onde o produto x(x-7) é não negativo, avaliamos o sinal dos fatores em cada intervalo:
    • Para x<0 (ex.: x=-1): x é negativo e x-7 é negativo, produto negativo×negativo = positivo. Logo x(x-7)>0 para x<0.
    • Para 0<x<7 (ex.: x=1): x é positivo e x-7 é negativo, produto positivo×negativo = negativo. Logo x(x-7)<0 para 0<x<7.
    • Para x>7 (ex.: x=8): x é positivo e x-7 é positivo, produto positivo×positivo = positivo. Logo x(x-7)>0 para x>7.
  • Nas próprias raízes x=0 e x=7 o produto vale exatamente zero, e \sqrt{0} é definido. Portanto esses pontos também pertencem ao domínio.

Passo 4

Conclusão sobre o domínio e notação.
  • Reunindo os intervalos onde x(x-7)\ge 0, o domínio da função é
(-\infty,0]\cup[7,\infty).
  • Em forma de conjunto: \{x\in\mathbb{R}\mid x\le 0 \text{ ou } x\ge 7\}.

Passo 5

Comentário rápido e dica para a prova (tomando o lugar do amigo que empurra você pra frente).
  • Sempre que tiver uma raiz quadrada de um polinômio, coloque o radicando \ge 0 e resolva a desigualdade. Se o polinômio fatorar facilmente, use a análise de sinais com as raízes; se não fatorar, use a fórmula quadrática para achar as raízes e depois faça o mesmo estudo de sinal.
  • Exemplo parecido para treinar: para \sqrt{x^{2}-3x} repetir o processo dá domínio (-\infty,0]\cup[3,\infty). Faz aí rapidinho pra fixar!

Resposta

(-\infty,0]\cup[7,\infty)

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