Sem usar uma calculadora, faça um esboço grosseiro do gráfico.
Passo 1
O enunciado pede: “Sem usar uma calculadora, faça um esboço grosseiro do gráfico” da função
.
Informações dadas explícitas:
Informações dadas explícitas:
- A função é
. - Não é permitido usar calculadora — é um esboço aproximado, com pontos e comportamento principais.
O objetivo é obter todas as características necessárias (domínio, interceptos, simetria, assíntotas, monotonia, máximos/mínimos, concavidade e pontos de inflexão) que permitam desenhar um esboço confiável à mão.
Passo 2
Domínio e sinal da função — o que isso significa e como verificar:
- Domínio: o denominador
nunca é zero para , pois e . Logo o domínio é todo o conjunto dos reais. - Sinal: como
e para todo , tem-se para todo . Conclusão prática: o gráfico fica inteiramente acima do eixo ; não há raízes (interseções com o eixo ).
Passo 3
Interceptos e valor em pontos simples — para posicionar pontos no esboço:
- Intercepto em
(quando ): calcular . Então o ponto é importante — é o ponto mais alto que veremos (veremos por que é máximo). - Podemos avaliar alguns pontos fáceis sem calculadora:
-
. -
. -
.
Esses pontos dão ideia rápida da queda da curva conformecresce.
-
Passo 4
Simetria — por que isso facilita o desenho:
- Verificar
. A função é par (simétrica em relação ao eixo ). Isso significa que basta traçar o ramo para e espelhar para .
Passo 5
Comportamento quando
— assíntota horizontal:
- Para
muito grande, domina, então . - Conclusão: há uma assíntota horizontal
quando . No esboço a curva se aproxima do eixo por cima.
Passo 6
Derivada e monotonicidade — passo a passo (aqui aprendes a usar derivadas para saber onde a função sobe/desce):
- Reescrever
como facilita a diferenciação. - Calcular a derivada:
- Analisar o sinal de
: - O denominador
é sempre positivo. - Logo o sinal de
é o oposto do sinal de : para temos (função crescente) e para temos (função decrescente).
- O denominador
- Conclusão: a função aumenta em
e diminui em . O único ponto crítico é .
Passo 7
Máximo em
— justificativa e valor:
- Pelo sinal de
mudando de positivo para negativo em , é um máximo local. Como a função tende a nas duas extremidades e é sempre positiva, esse máximo é global. - Valor do máximo: já calculado
. Então há um máximo global em .
Passo 8
Segunda derivada, concavidade e pontos de inflexão — mostrar o cálculo e interpretação:
- Partindo de
, derivar novamente usando regra do produto:
- Simplificando:
- Zeros de
: resolver . - Sinal de
: - Para
, tem-se então (concavidade para baixo). - Para
, (concavidade para cima).
- Para
- Valores nas abscissas de inflexão:
- Conclusão: há pontos de inflexão em
. Entre esses pontos a curva é côncava para baixo; fora deles é côncava para cima.
Passo 9
Resumo das informações úteis para desenhar o esboço e instruções práticas de desenho:
- Domínio:
. - Simetria: função par — desenhar ramo
e espelhar. - Máximo global:
. - Não corta o eixo
(sempre positiva). - Pontos para marcar:
, , , . - Pontos de inflexão:
. - Assíntota horizontal:
.
Como esboçar: desenhe o eixo, marque e os valores intermediários; trace uma curva que parte próxima a para , sobe (côncava para cima inicialmente), passa por um ponto de inflexão em , fica côncava para baixo até o máximo , depois espelha: decresce, passa pela inflexão em em , e aproxima-se de quando .
Resposta
Gráfico simétrico (par) com máximo global em
. Não corta o eixo
. Assíntota horizontal
. Crescente em
e decrescente em
. Pontos de inflexão em
. Alguns pontos úteis:
,
,
.