Sem usar uma calculadora, faça um esboço grosseiro do gráfico.
y=\frac{3}{1+x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede: “Sem usar uma calculadora, faça um esboço grosseiro do gráfico” da função y=\dfrac{3}{1+x^{2}}.
Informações dadas explícitas:
  • A função é y=\dfrac{3}{1+x^{2}}.
  • Não é permitido usar calculadora — é um esboço aproximado, com pontos e comportamento principais.
    O objetivo é obter todas as características necessárias (domínio, interceptos, simetria, assíntotas, monotonia, máximos/mínimos, concavidade e pontos de inflexão) que permitam desenhar um esboço confiável à mão.

Passo 2

Domínio e sinal da função — o que isso significa e como verificar:
  • Domínio: o denominador 1+x^{2} nunca é zero para x\in\mathbb{R}, pois x^{2}\ge0 e 1+x^{2}\ge1. Logo o domínio é todo o conjunto dos reais.
  • Sinal: como 3>0 e 1+x^{2}>0 para todo x, tem-se y>0 para todo x. Conclusão prática: o gráfico fica inteiramente acima do eixo x; não há raízes (interseções com o eixo x).

Passo 3

Interceptos e valor em pontos simples — para posicionar pontos no esboço:
  • Intercepto em y (quando x=0): calcular y(0)=\dfrac{3}{1+0^{2}}=\dfrac{3}{1}=3. Então o ponto (0,3) é importante — é o ponto mais alto que veremos (veremos por que é máximo).
  • Podemos avaliar alguns pontos fáceis sem calculadora:
    • y(1)=\dfrac{3}{1+1^{2}}=\dfrac{3}{2}=1{,}5.
    • y(2)=\dfrac{3}{1+4}=\dfrac{3}{5}=0{,}6.
    • y(3)=\dfrac{3}{1+9}=\dfrac{3}{10}=0{,}3.
      Esses pontos dão ideia rápida da queda da curva conforme |x| cresce.

Passo 4

Simetria — por que isso facilita o desenho:
  • Verificar y(-x)=\dfrac{3}{1+(-x)^{2}}=\dfrac{3}{1+x^{2}}=y(x). A função é par (simétrica em relação ao eixo y). Isso significa que basta traçar o ramo para x\ge0 e espelhar para x\le0.

Passo 5

Comportamento quando |x|\to\infty — assíntota horizontal:
  • Para x muito grande, x^{2} domina, então y=\dfrac{3}{1+x^{2}}\approx\dfrac{3}{x^{2}}\to0^{+}.
  • Conclusão: há uma assíntota horizontal y=0 quando x\to\pm\infty. No esboço a curva se aproxima do eixo x por cima.

Passo 6

Derivada e monotonicidade — passo a passo (aqui aprendes a usar derivadas para saber onde a função sobe/desce):
  • Reescrever y como y=3(1+x^{2})^{-1} facilita a diferenciação.
  • Calcular a derivada:
y' = 3\cdot(-1)(1+x^{2})^{-2}\cdot 2x = -\dfrac{6x}{(1+x^{2})^{2}}.
  • Analisar o sinal de y':
    • O denominador (1+x^{2})^{2} é sempre positivo.
    • Logo o sinal de y' é o oposto do sinal de x: para x<0 temos y'>0 (função crescente) e para x>0 temos y'<0 (função decrescente).
  • Conclusão: a função aumenta em (-\infty,0) e diminui em (0,\infty). O único ponto crítico é x=0.

Passo 7

Máximo em x=0 — justificativa e valor:
  • Pelo sinal de y' mudando de positivo para negativo em x=0, x=0 é um máximo local. Como a função tende a 0 nas duas extremidades e é sempre positiva, esse máximo é global.
  • Valor do máximo: já calculado y(0)=3. Então há um máximo global em (0,3).

Passo 8

Segunda derivada, concavidade e pontos de inflexão — mostrar o cálculo e interpretação:
  • Partindo de y'=-6x(1+x^{2})^{-2}, derivar novamente usando regra do produto:
y'' = -6(1+x^{2})^{-2} + (-6x)\cdot\big(-4x(1+x^{2})^{-3}\big).
  • Simplificando:
y'' = -\dfrac{6}{(1+x^{2})^{2}} + \dfrac{24x^{2}}{(1+x^{2})^{3}} = \dfrac{6(3x^{2}-1)}{(1+x^{2})^{3}}.
  • Zeros de y'': resolver 3x^{2}-1=0\Rightarrow x^{2}=\dfrac{1}{3}\Rightarrow x=\pm\dfrac{1}{\sqrt{3}}.
  • Sinal de y'':
    • Para |x|<\dfrac{1}{\sqrt{3}}, tem-se 3x^{2}-1<0 então y''<0 (concavidade para baixo).
    • Para |x|>\dfrac{1}{\sqrt{3}}, y''>0 (concavidade para cima).
  • Valores nas abscissas de inflexão:
y\!\left(\pm\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)=\dfrac{3}{1+\tfrac{1}{3}}=\dfrac{3}{\tfrac{4}{3}}=\dfrac{9}{4}=2{,}25.
  • Conclusão: há pontos de inflexão em \left(\pm\dfrac{1}{\sqrt{3}},\dfrac{9}{4}\right). Entre esses pontos a curva é côncava para baixo; fora deles é côncava para cima.

Passo 9

Resumo das informações úteis para desenhar o esboço e instruções práticas de desenho:
  • Domínio: x\in\mathbb{R}.
  • Simetria: função par — desenhar ramo x\ge0 e espelhar.
  • Máximo global: (0,3).
  • Não corta o eixo x (sempre positiva).
  • Pontos para marcar: (0,3), (1,1{,}5), (2,0{,}6), (3,0{,}3).
  • Pontos de inflexão: \left(\pm\dfrac{1}{\sqrt{3}},\dfrac{9}{4}\right)\approx(\pm0{,}577,2{,}25).
  • Assíntota horizontal: y=0.
    Como esboçar: desenhe o eixo y, marque y=3 e os valores intermediários; trace uma curva que parte próxima a y=0 para x\to-\infty, sobe (côncava para cima inicialmente), passa por um ponto de inflexão em x\approx-0{,}577, fica côncava para baixo até o máximo (0,3), depois espelha: decresce, passa pela inflexão em x\approx+0{,}577 em y=2{,}25, e aproxima-se de y=0 quando x\to+\infty.

Resposta

Gráfico simétrico (par) com máximo global em (0,3). Não corta o eixo x. Assíntota horizontal y=0. Crescente em (-\infty,0) e decrescente em (0,\infty). Pontos de inflexão em \left(\pm\dfrac{1}{\sqrt{3}},\dfrac{9}{4}\right). Alguns pontos úteis: (1,1{,}5), (2,0{,}6), (3,0{,}3).

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