Encontre o domínio da função vetorial dada:
r(t)=\left(\sqrt{4-t^{2}}, e^{-3 t}, \ln (t+1)\right)

Passo 1

Queremos o conjunto de todos os t para os quais cada componente de
r(t)=\bigl(\sqrt{4-t^{2}},\,e^{-3t},\,\ln(t+1)\bigr)
está bem definida. Ou seja, vamos achar o domínio de cada parte e depois intersectar.

Passo 2

A função \sqrt{4-t^{2}} exige que o radicando seja não-negativo:
4 - t^{2} \ge 0
Isso implica
-2 \le t \le 2,
ou seja, seu domínio é o intervalo [-2,2].

Passo 3

A função e^{-3t} está definida para todo t \in \mathbb{R}. Portanto, seu domínio é (-\infty,\infty).

Passo 4

A função \ln(t+1) exige argumento positivo:
t+1 > 0
Logo
t > -1,
e seu domínio é (-1,\infty).

Passo 5

O domínio de r(t) é a interseção dos três domínios:
[-2,2]\;\cap\;(-\infty,\infty)\;\cap\;(-1,\infty) \;=\;(-1,2].

Resposta

O domínio de r(t) é \,(-1,2]\,.

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