Informe o valor numérico da expressão seguinte:
\sqrt{\frac{9^{3}}{2^{6}}} \cdot\left(2^{2} \cdot \frac{1}{9}\right)^{3 / 2}

Passo 1

O enunciado pede o valor numérico da expressão
\sqrt{\frac{9^{3}}{2^{6}}}\;\cdot\;\Bigl(2^{2}\cdot\frac{1}{9}\Bigr)^{3/2}.
O conteúdo da matéria aqui é manipulação de potências e radicais, usando as regras \sqrt{a}=a^{1/2}, \bigl(a^m\bigr)^n=a^{mn} e \bigl(ab\bigr)^n=a^n b^n.

Passo 2

Vamos simplificar o primeiro fator por regras de expoentes:
\sqrt{\frac{9^{3}}{2^{6}}} =\frac{\sqrt{9^{3}}}{\sqrt{2^{6}}} =\frac{9^{3/2}}{2^{6/2}} =\frac{9^{1+1/2}}{2^3} =\frac{9\cdot\sqrt{9}}{8} =\frac{9\cdot3}{8} =\frac{27}{8}.

Passo 3

Agora o segundo fator:
\bigl(2^{2}\cdot 9^{-1}\bigr)^{3/2} =(2^2)^{3/2}\cdot(9^{-1})^{3/2} =2^{2\cdot\frac{3}{2}}\cdot9^{-\frac{3}{2}} =2^3\cdot\frac{1}{9^{3/2}} =\frac{8}{\bigl(\sqrt{9}\bigr)^3} =\frac{8}{3^3} =\frac{8}{27}.

Passo 4

Multiplicando os dois resultados:
\frac{27}{8}\;\cdot\;\frac{8}{27}=1.

Resposta

1

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