(a) Encontre o domínio da função y=x+2 raizx+3.
(b) A função dada no item (a) não é uma solução da equação diferencial (y-x) y^prime=y-x+2 em algum intervalo I. Analise se afirmação dada é verdadeira ou falsa. Caso seja falsa, encontre o maior intervalo de definição I dessa solução.

Passo 1

Resumindo, temos a função
y = x + 2raizx+3
O conteúdo aqui é análise de domínio de uma expressão com raiz e verificação de solução de uma equação diferencial do tipo
(y - x),y' = y - x + 2

Passo 2

Para encontrar o domínio de y, precisamos que o radicando seja não negativo:
x + 3 >= 0 Longrightarrow x >= -3
Logo,
Domínio(y) = [-3,,+infty) í

Passo 3

Agora vamos calcular a derivada y' em pontos interiores ao domínio (isto é, para x>-3):
y' = ddxl(xr) + 2,ddxl(raizx+3r) = 1 + 2cdot12raizx+3 = 1 + 1raizx+3
Observe que em x=-3 a derivada não existe porque raizx+3=0 no denominador.

Passo 4

Vamos ver se y satisfaz
(y - x),y' stackrel?= y - x + 2
Note que
y - x = 2raizx+3,
então
(y - x),y' = 2raizx+3,l(1 + 1raizx+3r) = 2raizx+3 + 2
e também
y - x + 2 = 2raizx+3 + 2
Portanto a igualdade vale para todo x>-3.

Passo 5

A afirmação “a função de (a) não é solução da equação diferencial em algum intervalo I” é falsa, pois acabamos de ver que ela satisfaz a equação para todo x > -3. O maior intervalo onde y é solução (i.e.\ onde y' existe e a equação fica válida) é
I = (-3, +infty)

Resposta

(a) Domínio(y) = [-3,,+infty)í.
(b) A afirmação é falsa. O maior intervalo de definição I em que y resolve (y-x),y' = y-x+2 é
I = (-3,,+infty)

Exercícios relacionados