(a) Encontre o domínio da função
.
(b) A função dada no item (a) não é uma solução da equação diferencial
em algum intervalo
. Analise se afirmação dada é verdadeira ou falsa. Caso seja falsa, encontre o maior intervalo de definição I dessa solução.
(b) A função dada no item (a) não é uma solução da equação diferencial
Passo 1
Resumindo, temos a função
O conteúdo aqui é análise de domínio de uma expressão com raiz e verificação de solução de uma equação diferencial do tipo
Passo 2
Para encontrar o domínio de
, precisamos que o radicando seja não negativo:
Logo,
Passo 3
Agora vamos calcular a derivada
em pontos interiores ao domínio (isto é, para
):
Observe que em
a derivada não existe porque
no denominador.
Passo 4
Vamos ver se
satisfaz
Note que
então
e também
Portanto a igualdade vale para todo
.
Passo 5
A afirmação “a função de (a) não é solução da equação diferencial em algum intervalo
” é falsa, pois acabamos de ver que ela satisfaz a equação para todo
. O maior intervalo onde
é solução (i.e.\ onde
existe e a equação fica válida) é
Resposta
(a)
.
(b) A afirmação é falsa. O maior intervalo de definição em que
resolve
é
(b) A afirmação é falsa. O maior intervalo de definição