Encontre uma equação diferencial que tenha como solução geral y=c e^-2 x+3 x-4. Verifique que sua resposta está correta.

Passo 1

O enunciado pede para achar uma equação diferencial cuja solução geral seja
y = c,e^-2x + 3x - 4
O conteúdo envolvido é o de EDOs lineares de primeira ordem com coeficientes constantes. Vamos usar o fato de que a solução geral de uma EDO linear de 1ª ordem é a soma da solução geral da equação homogênea mais uma solução particular.

Passo 2

Começamos encontrando a parte homogênea. Se a solução homogênea é
yh = c,e^-2x,
ela satisfaz a EDO
y' + 2y = 0

Passo 3

Agora procuramos uma equação do tipo
y' + 2y = g(x)
cuja solução particular seja yp = 3x - 4. Calculamos
yp' = 3
e então
yp' + 2yp = 3 + 2(3x - 4) = 3 + 6x - 8 = 6x - 5
Logo, devemos ter g(x) = 6x - 5.

Passo 4

A equação diferencial que combina a parte homogênea e a parte forçada é
y' + 2y = 6x - 5
Resolvendo essa EDO por coeficientes constantes, a generalidade da solução é
y = c,e^-2x + yp = c,e^-2x + 3x - 4,
como desejado.

Passo 5

Para verificar, substituímos y = c,e^-2x + 3x - 4 em y' + 2y:
y' = -2c,e^-2x + 3,
y' + 2y = l(-2c,e^-2x + 3r) + 2l(c,e^-2x + 3x - 4r) = -2c,e^-2x + 3 + 2c,e^-2x + 6x - 8 = 6x - 5,
que é exatamente o lado direito da equação.

Resposta

A equação diferencial é
y' + 2y = 6x - 5

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