Encontre uma equação diferencial que tenha como solução geral
. Verifique que sua resposta está correta.
Passo 1
O enunciado pede para achar uma equação diferencial cuja solução geral seja
O conteúdo envolvido é o de EDOs lineares de primeira ordem com coeficientes constantes. Vamos usar o fato de que a solução geral de uma EDO linear de 1ª ordem é a soma da solução geral da equação homogênea mais uma solução particular.
Passo 2
Começamos encontrando a parte homogênea. Se a solução homogênea é
ela satisfaz a EDO
Passo 3
Agora procuramos uma equação do tipo
cuja solução particular seja
. Calculamos
e então
Logo, devemos ter
.
Passo 4
A equação diferencial que combina a parte homogênea e a parte forçada é
Resolvendo essa EDO por coeficientes constantes, a generalidade da solução é
como desejado.
Passo 5
Para verificar, substituímos
em
:
que é exatamente o lado direito da equação.
Resposta
A equação diferencial é