Em cada item, determine se a equação diferencial dada é exata. Se for, encontre a solução.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente determinar se a equação diferencial dada é exata. Se for, a gente também precisa encontrar a solução dela. A equação que temos é:
Esse exercício está relacionado ao estudo de equações diferenciais exatas, que são aquelas que podem ser escritas como a derivada total de alguma função
. Para resolver, vamos precisar entender o que torna uma equação exata e como verificar isso passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação na forma padrão de uma equação diferencial de primeira ordem:
Comparando com a equação que temos:
Aqui, identificamos:
Passo 3
Agora, para verificar se essa equação é exata, precisamos comparar as derivadas parciais de
e
em relação a
e
, respectivamente. A condição para exatidão é:
Vamos calcular cada uma delas:
- Derivada parcial de
em relação a :
- Derivada parcial de
em relação a :
Passo 4
Agora, comparamos as duas derivadas:
Claramente,
. Isso significa que a condição para exatidão não é satisfeita.
Resposta
A equação diferencial fornecida não é exata porque
. Portanto, não podemos encontrar uma solução direta usando métodos de equações exatas.