Em cada item, determine se a equação diferencial dada é exata. Se for, encontre a solução.
1+(x / y-sen y) d yd x=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente determinar se a equação diferencial dada é exata. Se for, a gente também precisa encontrar a solução dela. A equação que temos é:
1 + ( xy - sin y ) dydx = 0
Esse exercício está relacionado ao estudo de equações diferenciais exatas, que são aquelas que podem ser escritas como a derivada total de alguma função F(x, y) . Para resolver, vamos precisar entender o que torna uma equação exata e como verificar isso passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação na forma padrão de uma equação diferencial de primeira ordem:
M(x, y),dx + N(x, y),dy = 0
Comparando com a equação que temos:
1,dx + ( xy - sin y ) dy = 0
Aqui, identificamos:
  • M(x, y) = 1
  • N(x, y) = xy - sin y

Passo 3

Agora, para verificar se essa equação é exata, precisamos comparar as derivadas parciais de M e N em relação a y e x , respectivamente. A condição para exatidão é:
partial Mpartial y = partial Npartial x
Vamos calcular cada uma delas:
  • Derivada parcial de M em relação a y :
partial Mpartial y = partialpartial y(1) = 0
  • Derivada parcial de N em relação a x :
partial Npartial x = partialpartial x( xy - sin y ) = 1y - 0 = 1y

Passo 4

Agora, comparamos as duas derivadas:
partial Mpartial y = 0 e partial Npartial x = 1y
Claramente, 0 neq 1y . Isso significa que a condição para exatidão não é satisfeita.

Resposta

A equação diferencial fornecida não é exata porque partial Mpartial y neq partial Npartial x . Portanto, não podemos encontrar uma solução direta usando métodos de equações exatas.

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