Encontre o domínio das funções a seguir:
f(x)=\frac{\sqrt[3]{x}}{x^{2}-1}

Passo 1

O enunciado pede: encontrar o domínio da função
f(x)=\frac{\sqrt[3]{x}}{x^{2}-1}.
Informações dadas que são relevantes:
  • A expressão do numerador é \sqrt[3]{x}.
  • A expressão do denominador é x^{2}-1.
  • O que se pede é o conjunto de todos os números reais x para os quais a expressão que define f(x) faz sentido (ou seja, está bem definida).

Passo 2

O que significa “domínio” aqui (ou seja, quando a função está bem definida)?
  • Uma função racional como \dfrac{\text{numerador}}{\text{denominador}} só é indefinida quando o denominador é zero. Logo, valores que tornam o denominador igual a zero devem ser excluídos do domínio.
  • Também é preciso verificar se há restrições vindas da operação no numerador. No caso de raízes, raízes de índice par (como raiz quadrada) exigem que o radicando seja não negativo, mas raízes de índice ímpar não têm essa restrição: são definidas para todo real. Vamos aplicar isso ao nosso caso.

Passo 3

Análise do numerador \sqrt[3]{x}:
  • A raiz cúbica é uma raiz de índice 3 (ímpar). Para qualquer x\in\mathbb{R} existe um único número real cuja cúbica é x. Por exemplo, \sqrt[3]{8}=2 e \sqrt[3]{-8}=-2.
  • Conclusão: não há restrição no numerador; \sqrt[3]{x} está definida para todo x\in\mathbb{R}.

Passo 4

Análise do denominador x^{2}-1:
  • Devemos excluir x tais que x^{2}-1=0, porque dividir por zero não é permitido.
  • Resolver x^{2}-1=0. Isso é uma equação quadrática simples; pode-se fatorar:
x^{2}-1=(x-1)(x+1).
  • Portanto as raízes são x=1 e x=-1. Para esses valores o denominador é zero e a função não está definida.

Passo 5

Juntando as informações:
  • Numerador: definido para todo x\in\mathbb{R}.
  • Denominador: proibidos x=1 e x=-1.
  • Logo, o domínio é o conjunto de todos os números reais exceto \pm 1.
Em notação em conjunto:
\{x\in\mathbb{R}\mid x\neq -1,\\ x\neq 1\}.
Em notação por intervalos:
(-\infty,-1)\cup(-1,1)\cup(1,\infty).

Passo 6

Checagem rápida com exemplos práticos (para ganhar confiança):
  • Para x=0 tem-se f(0)=\dfrac{\sqrt[3]{0}}{0^{2}-1}=\dfrac{0}{-1}=0, está definido.
  • Para x=2 tem-se f(2)=\dfrac{\sqrt[3]{2}}{4-1}=\dfrac{\sqrt[3]{2}}{3}, está definido.
  • Para x=1 o denominador é zero, portanto f(1) não existe — consistentemente excluído do domínio.

Resposta

(-\infty,-1)\cup(-1,1)\cup(1,\infty)

Exercícios relacionados