Encontre o domínio das funções a seguir:
Passo 1
O enunciado pede: encontrar o domínio da função
Informações dadas que são relevantes:
- A expressão do numerador é
. - A expressão do denominador é
. - O que se pede é o conjunto de todos os números reais
para os quais a expressão que define faz sentido (ou seja, está bem definida).
Passo 2
O que significa “domínio” aqui (ou seja, quando a função está bem definida)?
- Uma função racional como
só é indefinida quando o denominador é zero. Logo, valores que tornam o denominador igual a zero devem ser excluídos do domínio. - Também é preciso verificar se há restrições vindas da operação no numerador. No caso de raízes, raízes de índice par (como raiz quadrada) exigem que o radicando seja não negativo, mas raízes de índice ímpar não têm essa restrição: são definidas para todo real. Vamos aplicar isso ao nosso caso.
Passo 3
Análise do numerador
:
- A raiz cúbica é uma raiz de índice
(ímpar). Para qualquer existe um único número real cuja cúbica é . Por exemplo, e . - Conclusão: não há restrição no numerador;
está definida para todo .
Passo 4
Análise do denominador
:
- Devemos excluir
tais que , porque dividir por zero não é permitido. - Resolver
. Isso é uma equação quadrática simples; pode-se fatorar:
- Portanto as raízes são
e . Para esses valores o denominador é zero e a função não está definida.
Passo 5
Juntando as informações:
- Numerador: definido para todo
. - Denominador: proibidos
e . - Logo, o domínio é o conjunto de todos os números reais exceto
.
Em notação em conjunto:
Em notação por intervalos:
Passo 6
Checagem rápida com exemplos práticos (para ganhar confiança):
- Para
tem-se , está definido. - Para
tem-se , está definido. - Para
o denominador é zero, portanto não existe — consistentemente excluído do domínio.