Encontre o domínio, a imagem e esboce o gráfico de cada uma das funções abaixo.

Passo 1

O enunciado pede para a gente analisar a função definida por partes e encontrar o domínio, a imagem e desenhar o gráfico. Aqui o conteúdo é funções definidas por partes (funções piecewise) e vamos precisar entender para quais valores de x cada ramo está definido e qual é o conjunto de valores que f(x) atinge.

Passo 2

Para achar o domínio, basta ver onde cada ramo está definido:
O ramo f(x)=x está definido para x<=0 e o ramo f(x)=x+1 está definido para x>0. Juntando ambos, não sobra nenhum valor de x sem definição. Portanto,
Domínio = (-infty,+infty)í

Passo 3

Agora vamos à imagem (o conjunto de valores que f(x) pode assumir). Analisamos cada ramo separadamente:
  • Para x<=0, f(x)=x varia de -infty até 0, incluindo 0 (pois em x=0 usamos o primeiro ramo).
  • Para x>0, f(x)=x+1 varia de 1+varepsilon até +infty, ou seja, todos os valores maiores que 1, sem incluir 1 (já que não existe x>0 tal que x+1=1).

Passo 4

Fazendo a união desses intervalos:
Ima>=m = (-infty,0] cup (1,+infty)

Passo 5

Para o esboço do gráfico, desenhamos duas retas:
  • A reta y=x para x<=0, incluindo o ponto (0,0) com círculo preenchido.
  • A reta y=x+1 para x>0, começando em (0,1) com círculo aberto e seguindo para a direita.
No desenho, vai ficar uma reta de 45° que passa pela origem até a esquerda, e outra reta de 45° deslocada para cima em 1 unidade, começando logo à direita de x=0.

Resposta

Domínio: ( -infty,+infty). Imagem: ( -infty,0] cup (1,+infty).

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