Encontre o domínio, a imagem e esboce o gráfico de cada uma das funções abaixo.
Passo 1
O enunciado pede para a gente analisar a função definida por partes e encontrar o domínio, a imagem e desenhar o gráfico. Aqui o conteúdo é funções definidas por partes (funções piecewise) e vamos precisar entender para quais valores de
cada ramo está definido e qual é o conjunto de valores que
atinge.
Passo 2
Para achar o domínio, basta ver onde cada ramo está definido:
O ramo está definido para
e o ramo
está definido para
. Juntando ambos, não sobra nenhum valor de
sem definição. Portanto,
O ramo
Passo 3
Agora vamos à imagem (o conjunto de valores que
pode assumir). Analisamos cada ramo separadamente:
- Para
, varia de até , incluindo (pois em usamos o primeiro ramo). - Para
, varia de até , ou seja, todos os valores maiores que , sem incluir (já que não existe tal que ).
Passo 4
Fazendo a união desses intervalos:
Passo 5
Para o esboço do gráfico, desenhamos duas retas:
- A reta
para , incluindo o ponto com círculo preenchido. - A reta
para , começando em com círculo aberto e seguindo para a direita.
No desenho, vai ficar uma reta de 45° que passa pela origem até a esquerda, e outra reta de 45° deslocada para cima em 1 unidade, começando logo à direita de
.
Resposta
Domínio:
. Imagem:
.