Um tanque contém 400 ell de uma mistura de água e cloro com uma concentração de 0,05 g de cloro por litro. Para reduzir a concentração de cloro temos três opções: I) A primeira é bombear água pura (sem cloro) para o tanque a uma taxa de 4 ell / min; II) a segunda é bombear um mistura de água com cloro (concentração de 0,03 g de cloro por litro) a uma taxa de 6 ell / min; III) a terceira opção, por sua vez, é bombear uma outra mistura de água com cloro (concentração de 0,05 g de cloro por litro) a uma taxa de 8 ell / min. Em todos os casos, a mistura dentro do tanque é constantemente agitada e retirada a uma taxa de 10 ell / min.
a) Calcule o volume de líquido no tanque, em função do tempo, em cada um dos casos.
b) Em cada um dos casos, calcule a quantidade de cloro (em gramas) no tanque em função do tempo.
c) Suponha que queremos obter, dentro do tanque, uma concentração de 0,04 g de cloro por litro. Quando isso ocorre, as válculas de entrada e saída de líquido do tanque são fechadas. Com qual das três opçães essa concentração é obtida mais rapidamente? (Calcule o tempo correspondente). Com qual das três opções conseguimos o maior volume de líquido com essa concentração? (Calcule o volume correspondente.)

Passo 1

Vamos começar recaptulando o que o exercício pede e a teoria de equações de balanço de massa para misturas.

Passo 2

Para cada opção temos uma vazão de entrada r_in e de saída r_out=10 L/min, então o volume V(t) satisfaz dV/dt=r_in–10. Integrando, obtemos:
V1(t)=400-6t,
V2(t)=400-4t,
V3(t)=400-2t

Passo 3

A quantidade de cloro Q(t) satisfaz dQ/dt=(concentração de entrada)·r_in –(Q/V)·10. Resolvendo cada ODE com Q(0)=400·0.05=20 g:
Para I (entrada de água pura):
Q1(t)=20l(400-6t400r)^5/3
Para II (entrada a 0,03 g/L):
Q2(t)=8l(400-4t400r)^5/2+12-0.12t
Para III (entrada a 0,05 g/L):
Q3(t)=20-0.1t,
pois a concentração interna permanece constante em 0,05 g/L.

Passo 4

Queremos Q/V=0.04.
Para I:
0.04=20l((400-6t)/400r)^5/3400-6t resolve para t≈18.98 min e então V_1≈400-6·18.98≈286.1 L.
Para II definimos V=400-4t e substituímos t=(400-V)/4 em Q_2 e igualamos Q_2/V=0.04. Dá V≈4.64 L e t≈98.8 min.
Para III a concentração interna é sempre 0.05 g/L, então nunca chega a 0.04 antes de esvaziar.

Passo 5

Portanto a opção I é a mais rápida para atingir 0,04 g/L (≈18.98 min) e também é a que deixa o maior volume nesse instante (≈286.1 L).

Resposta

Opção I: atinge 0,04 g/L em cerca de 18,98 min e o volume então é ≈286,1 L.

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