Um tanque contém
de uma mistura de água e cloro com uma concentração de
de cloro por litro. Para reduzir a concentração de cloro temos três opções: I) A primeira é bombear água pura (sem cloro) para o tanque a uma taxa de
; II) a segunda é bombear um mistura de água com cloro (concentração de
de cloro por litro) a uma taxa de
; III) a terceira opção, por sua vez, é bombear uma outra mistura de água com cloro (concentração de
de cloro por litro) a uma taxa de
. Em todos os casos, a mistura dentro do tanque é constantemente agitada e retirada a uma taxa de
.
a) Calcule o volume de líquido no tanque, em função do tempo, em cada um dos casos.
b) Em cada um dos casos, calcule a quantidade de cloro (em gramas) no tanque em função do tempo.
c) Suponha que queremos obter, dentro do tanque, uma concentração de
de cloro por litro. Quando isso ocorre, as válculas de entrada e saída de líquido do tanque são fechadas. Com qual das três opçães essa concentração é obtida mais rapidamente? (Calcule o tempo correspondente). Com qual das três opções conseguimos o maior volume de líquido com essa concentração? (Calcule o volume correspondente.)
a) Calcule o volume de líquido no tanque, em função do tempo, em cada um dos casos.
b) Em cada um dos casos, calcule a quantidade de cloro (em gramas) no tanque em função do tempo.
c) Suponha que queremos obter, dentro do tanque, uma concentração de
Passo 1
Vamos começar recaptulando o que o exercício pede e a teoria de equações de balanço de massa para misturas.
Passo 2
Para cada opção temos uma vazão de entrada r_in e de saída r_out=10 L/min, então o volume V(t) satisfaz dV/dt=r_in–10. Integrando, obtemos:
Passo 3
A quantidade de cloro Q(t) satisfaz dQ/dt=(concentração de entrada)·r_in –(Q/V)·10. Resolvendo cada ODE com Q(0)=400·0.05=20 g:
Para I (entrada de água pura):
Para I (entrada de água pura):
Para II (entrada a 0,03 g/L):
Para III (entrada a 0,05 g/L):
pois a concentração interna permanece constante em 0,05 g/L.
Passo 4
Queremos Q/V=0.04.
Para I:
Para I:
Para II definimos V=400-4t e substituímos t=(400-V)/4 em Q_2 e igualamos Q_2/V=0.04. Dá V≈4.64 L e t≈98.8 min.
Para III a concentração interna é sempre 0.05 g/L, então nunca chega a 0.04 antes de esvaziar.
Passo 5
Portanto a opção I é a mais rápida para atingir 0,04 g/L (≈18.98 min) e também é a que deixa o maior volume nesse instante (≈286.1 L).
Resposta
Opção I: atinge 0,04 g/L em cerca de 18,98 min e o volume então é ≈286,1 L.