4- A taxa de variação de temperatura de um corpo é proporcional à diferença de temperatura entre esse
corpo e o meio ambiente. Seja T(t) a temperatura desse corpo em função do tempo.
a) Com as informações dadas (e definindo as constantes necessárias), escreva a equação diferencial que a função T(t) deve satisfazer.
b) Suponha que um corpo com temperatura desconhecida é colocado em um refrigerador mantido à temperatura constante de -20^circ C. Se após 20 minutos a temperatura do corpo é 40^circ C e após 40 minutos é 20^circ C, qual a temperatura inicial do corpo?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre como a temperatura de um corpo muda com o tempo, que depende da diferença entre a temperatura do corpo e a temperatura do ambiente. Vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais, especificamente a Lei de Resfriamento de Newton, para resolver isso. Vamos dividir a resolução em partes para facilitar.

Passo 2

a) Escrevendo a equação diferencial
Primeiro, vamos traduzir o que o enunciado está nos dizendo em termos matemáticos.
  • O que sabemos:
    • A taxa de variação da temperatura do corpo em relação ao tempo (isto é, como a temperatura muda ao longo do tempo) é proporcional à diferença entre a temperatura do corpo, $ T(t) $, e a temperatura do ambiente, que vamos chamar de $ T_a $.
  • Definindo as constantes:
    • Vamos chamar a constante de proporcionalidade de $ k $.
  • Traduzindo para matemática:
    • A taxa de variação é representada por $ \frac{dT}{dt} $.
    • A diferença de temperatura é $ T(t) - T_a $.
Portanto, a equação que representa essa relação é:
T(t)
O sinal negativo indica que, se o corpo está mais quente que o ambiente, sua temperatura diminui com o tempo, e se está mais frio, sua temperatura aumenta.

Passo 3

b) Encontrando a temperatura inicial do corpo
Agora, vamos resolver para encontrar a temperatura inicial do corpo usando as informações fornecidas:
  • Dados:
    • Temperatura do ambiente: $ T_a = -20^\circ \mathrm{C} $
    • Após 20 minutos: $ T(20) = 40^\circ \mathrm{C} $
    • Após 40 minutos: $ T(40) = 20^\circ \mathrm{C} $
    • Queremos achar $ T_0 = T(0) $, a temperatura inicial do corpo.
  • Solução geral da equação diferencial:
    A solução da equação diferencial que encontramos no passo anterior é dada por:
    Ta = -20^circ C
    Onde:
    • $ T(t) $ é a temperatura no tempo $ t $.
    • $ T_0 $ é a temperatura inicial.
    • $ k $ é a constante que precisamos determinar.

Passo 4

Encontrando a constante $ k $
Vamos usar os dados fornecidos para encontrar $ k $.
  1. Para $ t = 20 $ minutos:
    k
    Simplificando:
    k çã
  2. Para $ t = 40 $ minutos:
    t = 20
    Simplificando:
    40 = -20 + (T0 + 20) e^-20k çã
  3. Dividindo a Equação 1 pela Equação 2 para eliminar $ T_0 + 20 $:
    60 = (T0 + 20) e^-20k (Equação 1)
  4. Resolvendo para $ k $:
    Tomamos o ln dos dois lados:
    t = 40
    Calculando $ k $:
    20 = -20 + (T0 + 20) e^-40k

Passo 5

Encontrando a temperatura inicial $ T_0 $
Agora que temos $ k $, vamos voltar à Equação 1 para achar $ T_0 $:
T0
Calculando $ e^{-0,406} $:
k
Então:
T0
Finalmente:
60 = (T0 + 20) e^-20 times 0,0203 Rightarrow 60 = (T0 + 20) e^-0,406

Resposta

A temperatura inicial do corpo era de aproximadamente $ 70^\circ \mathrm{C} $.

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