4- A taxa de variação de temperatura de um corpo é proporcional à diferença de temperatura entre esse
corpo e o meio ambiente. Seja
a temperatura desse corpo em função do tempo.
a) Com as informações dadas (e definindo as constantes necessárias), escreva a equação diferencial que a função
deve satisfazer.
b) Suponha que um corpo com temperatura desconhecida é colocado em um refrigerador mantido à temperatura constante de
. Se após 20 minutos a temperatura do corpo é
e após 40 minutos é
, qual a temperatura inicial do corpo?
corpo e o meio ambiente. Seja
a) Com as informações dadas (e definindo as constantes necessárias), escreva a equação diferencial que a função
b) Suponha que um corpo com temperatura desconhecida é colocado em um refrigerador mantido à temperatura constante de
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre como a temperatura de um corpo muda com o tempo, que depende da diferença entre a temperatura do corpo e a temperatura do ambiente. Vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais, especificamente a Lei de Resfriamento de Newton, para resolver isso. Vamos dividir a resolução em partes para facilitar.
Passo 2
a) Escrevendo a equação diferencial
Primeiro, vamos traduzir o que o enunciado está nos dizendo em termos matemáticos.
-
O que sabemos:
- A taxa de variação da temperatura do corpo em relação ao tempo (isto é, como a temperatura muda ao longo do tempo) é proporcional à diferença entre a temperatura do corpo, $ T(t) $, e a temperatura do ambiente, que vamos chamar de $ T_a $.
-
Definindo as constantes:
- Vamos chamar a constante de proporcionalidade de $ k $.
-
Traduzindo para matemática:
- A taxa de variação é representada por $ \frac{dT}{dt} $.
- A diferença de temperatura é $ T(t) - T_a $.
Portanto, a equação que representa essa relação é:
O sinal negativo indica que, se o corpo está mais quente que o ambiente, sua temperatura diminui com o tempo, e se está mais frio, sua temperatura aumenta.
Passo 3
b) Encontrando a temperatura inicial do corpo
Agora, vamos resolver para encontrar a temperatura inicial do corpo usando as informações fornecidas:
-
Dados:
- Temperatura do ambiente: $ T_a = -20^\circ \mathrm{C} $
- Após 20 minutos: $ T(20) = 40^\circ \mathrm{C} $
- Após 40 minutos: $ T(40) = 20^\circ \mathrm{C} $
- Queremos achar $ T_0 = T(0) $, a temperatura inicial do corpo.
-
Solução geral da equação diferencial:A solução da equação diferencial que encontramos no passo anterior é dada por:Onde:
- $ T(t) $ é a temperatura no tempo $ t $.
- $ T_0 $ é a temperatura inicial.
- $ k $ é a constante que precisamos determinar.
Passo 4
Encontrando a constante $ k $
Vamos usar os dados fornecidos para encontrar $ k $.
-
Para $ t = 20 $ minutos:Simplificando:
-
Para $ t = 40 $ minutos:Simplificando:
-
Dividindo a Equação 1 pela Equação 2 para eliminar $ T_0 + 20 $:
-
Resolvendo para $ k $:Tomamos o ln dos dois lados:Calculando $ k $:
Passo 5
Encontrando a temperatura inicial $ T_0 $
Agora que temos $ k $, vamos voltar à Equação 1 para achar $ T_0 $:
Calculando $ e^{-0,406} $:
Então:
Finalmente:
Resposta
A temperatura inicial do corpo era de aproximadamente $ 70^\circ \mathrm{C} $.