Encontre o domínio e a imagem e esboce o gráfico da função.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede três coisas:
- Encontrar o domínio de
. - Encontrar a imagem (ou conjunto-valor, intervalo de valores que
atinge). - Esboçar o gráfico de
.
Informações relevantes fornecidas:
- A expressão da função é
. - Está implícito que a função é considerada como função de variável real para valores reais de saída (ou seja, quer-se o domínio e a imagem em
).
Passo 2
O que é domínio e como encontrá-lo aqui: o domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de entrada
para os quais a expressão que define a função faz sentido como número real.
No caso da raiz quadrada real, a regra básica é:
Aqui o radicando é
. Então impomos a desigualdade
Agora resolvemos a desigualdade passo a passo: somando
em ambos os lados obtemos
Portanto todos os
maiores ou iguais a
são permitidos. Assim o domínio é o intervalo
Observação: o ponto
está incluído porque
é bem definido.
Passo 3
Agora a imagem (ou intervalo de valores que
assume). Defina
, ou seja
Propriedade fundamental da raiz quadrada real:
é sempre maior ou igual a zero, isto é
. Para caracterizar todos os valores possíveis de
é útil inverter a relação: elevando ao quadrado (note que isso é permitido porque
):
Isolando
,
Como
varia em todo o domínio
, isso corresponde a
variando em
, e portanto
varia em
. Em outras palavras:
- Quando
temos . - À medida que
aumenta sem limite, também cresce sem limite.
Logo a imagem é
Passo 4
Como esboçar o gráfico passo a passo (modo prático para fazer numa prova, sem calculadora):
- Comece com o gráfico conhecido da função básica
(domínio , imagem , começa em , cresce, forma de “ramo” que fica cada vez mais horizontal). - A função
é exatamente com a variável deslocada: . Isso corresponde a uma translação horizontal do gráfico de de unidades para a direita. - Marque no plano o ponto inicial do ramo em
(porque quando , ). - Plote alguns pontos fáceis para guiar o desenho:
Observe que escrevi os números entre porque todos são elementos matemáticos. - Una esses pontos com uma curva contínua que parte de
e sobe devagar, ficando mais horizontal à medida que aumenta. Essa curva é contínua e estritamente crescente para .
Passo 5
Propriedades importantes do gráfico e da função (úteis para prova e interpretação):
- Domínio:
. - Imagem:
. - Intercepto com o eixo
: . Não há intercepto com o eixo porque não pertence ao domínio. - Monotonicidade:
é crescente em todo o domínio. Uma forma rápida de ver isso é calcular a derivada (se já estiver estudando derivadas): que é positiva, confirmando que aumenta. Observação: tende para quando (a curva sai com muita inclinação) e tende a quando (a curva fica quase horizontal). - Continuidade:
é contínua em todo o domínio .
Resposta
Domínio:
Imagem:
Imagem: