Encontre o domínio e a imagem e esboce o gráfico da função.
g(x)=\sqrt{x-5}

Passo 1

O enunciado dá a função g(x)=\sqrt{x-5} e pede três coisas:
  • Encontrar o domínio de g.
  • Encontrar a imagem (ou conjunto-valor, intervalo de valores que g atinge).
  • Esboçar o gráfico de g.
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão da função é g(x)=\sqrt{x-5}.
  • Está implícito que a função é considerada como função de variável real para valores reais de saída (ou seja, quer-se o domínio e a imagem em \mathbb{R}).

Passo 2

O que é domínio e como encontrá-lo aqui: o domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de entrada x para os quais a expressão que define a função faz sentido como número real.
No caso da raiz quadrada real, a regra básica é:
\text{para que }\sqrt{A}\text{ seja um número real, precisa valer }A\ge 0.ú
Aqui o radicando é x-5. Então impomos a desigualdade
x-5\ge 0.
Agora resolvemos a desigualdade passo a passo: somando 5 em ambos os lados obtemos
x\ge 5.
Portanto todos os x maiores ou iguais a 5 são permitidos. Assim o domínio é o intervalo
[5,\infty).
Observação: o ponto x=5 está incluído porque \sqrt{0}=0 é bem definido.

Passo 3

Agora a imagem (ou intervalo de valores que g assume). Defina y=g(x), ou seja
y=\sqrt{x-5}.
Propriedade fundamental da raiz quadrada real: y é sempre maior ou igual a zero, isto é y\ge 0. Para caracterizar todos os valores possíveis de y é útil inverter a relação: elevando ao quadrado (note que isso é permitido porque y\ge0):
y^2 = x-5.
Isolando x,
x = y^2 + 5.
Como x varia em todo o domínio x\in[5,\infty), isso corresponde a y^2 variando em [0,\infty), e portanto y varia em [0,\infty). Em outras palavras:
  • Quando x=5 temos y=0.
  • À medida que x aumenta sem limite, y=\sqrt{x-5} também cresce sem limite.
Logo a imagem é
[0,\infty).

Passo 4

Como esboçar o gráfico passo a passo (modo prático para fazer numa prova, sem calculadora):
  1. Comece com o gráfico conhecido da função básica f(t)=\sqrt{t} (domínio [0,\infty), imagem [0,\infty), começa em (0,0), cresce, forma de “ramo” que fica cada vez mais horizontal).
  2. A função g(x)=\sqrt{x-5} é exatamente f com a variável deslocada: g(x)=f(x-5). Isso corresponde a uma translação horizontal do gráfico de f de 5 unidades para a direita.
  3. Marque no plano o ponto inicial do ramo em (5,0) (porque quando x=5, g(5)=0).
  4. Plote alguns pontos fáceis para guiar o desenho: g(5)=0,\quad g(6)=\sqrt{1}=1,\quad g(9)=\sqrt{4}=2,\quad g(14)=\sqrt{9}=3.Observe que escrevi os números entre porque todos são elementos matemáticos.
  5. Una esses pontos com uma curva contínua que parte de (5,0) e sobe devagar, ficando mais horizontal à medida que x aumenta. Essa curva é contínua e estritamente crescente para x>5.

Passo 5

Propriedades importantes do gráfico e da função (úteis para prova e interpretação):
  • Domínio: [5,\infty).
  • Imagem: [0,\infty).
  • Intercepto com o eixo x: (5,0). Não há intercepto com o eixo y porque x=0 não pertence ao domínio.
  • Monotonicidade: g é crescente em todo o domínio. Uma forma rápida de ver isso é calcular a derivada (se já estiver estudando derivadas): g'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x-5}}\quad\text{para }x>5,que é positiva, confirmando que g aumenta. Observação: g'(x) tende para +\infty quando x\to 5^+ (a curva sai com muita inclinação) e tende a 0 quando x\to\infty (a curva fica quase horizontal).
  • Continuidade: g é contínua em todo o domínio [5,\infty).

Resposta

Domínio: [5,\infty)
Imagem: [0,\infty)

Exercícios relacionados