Encontre o domínio e a imagem e esboce o gráfico da função.
f(x)=\left\{\begin{array}{l}x+2, \text { se } x<0 \\\\ 1-x, \text { se } x \leq 0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede três coisas: encontrar o domínio, encontrar a imagem (conjunto-valor) e esboçar o gráfico da função dada. A função fornecida é, literalmente,
f(x)=\begin{cases} x+2, & \text{se } x<0,\\[4pt] 1-x, & \text{se } x\leq 0. \end{cases}
As informações relevantes que temos do enunciado:
  • Há duas regras (dois ramos) definindo f.
  • O primeiro ramo é x+2 válido para x<0.
  • O segundo ramo é 1-x válido para x\leq 0.
  • As perguntas: (i) domínio de f; (ii) imagem de f; (iii) esboço do gráfico.]

Passo 2

Antes de calcular qualquer domínio/imagem, preciso verificar se a definição faz sentido: para cada x deve existir exatamente um valor f(x). Aqui os domínios dos ramos são:
D_1=\{x\mid x<0\},\qquad D_2=\{x\mid x\leq0\}.
Note que D_1\cap D_2=\{x\mid x<0\}, ou seja, todos os x<0 pertencem aos dois ramos. Isso significa que, como está escrita, a definição dá duas fórmulas diferentes para um mesmo x<0: tanto x+2 quanto 1-x. Uma função deve atribuir um único valor a cada x; portanto, com a escrita atual a definição é ambígua (inconsistente) salvo nos pontos onde as duas fórmulas coincidam.

Passo 3

Vou checar se as duas fórmulas coincidem nos pontos de sobreposição. Resolver a igualdade
x+2 = 1-x
temos
2x = -1 \quad\Rightarrow\quad x=-\tfrac{1}{2}.
Então as duas fórmulas coincidem apenas em x=-\tfrac{1}{2}. Para qualquer outro x<0 elas são diferentes: isso confirma que, tal como escrito, a função não está bem definida (um mesmo x receberia duas imagens diferentes). Portanto, não é possível responder de forma única às perguntas com a definição ambígua.

Passo 4

Como o enunciado provavelmente contém um pequeno erro de escrita (caso típico: o segundo ramo devia ser para x\geq0 e alguém escreveu \leq por engano), vou adotar a interpretação mais comum e natural para continuar: corrigir o segundo ramo para x\geq 0. Ou seja, trabalho com a função
f(x)=\begin{cases} x+2, & \text{se } x<0,\\[4pt] 1-x, & \text{se } x\geq 0. \end{cases}
Não perguntei nada porque você pediu que eu escolhesse; essa é a interpretação usual e permite dar uma resposta completa (se você quiser que eu trate de outra interpretação, me avisa depois).]

Passo 5

Determinar o domínio com a função corrigida. Os ramos cobrem:
(-\infty,0)\quad\text{e}\quad[0,\infty),
que juntos formam todos os reais. Logo o domínio é
\mathcal{D}=\mathbb{R}.
Explicando simples: cada número real encaixa em um dos dois casos (ou no limite 0 que pertence ao segundo ramo), então todos os reais estão permitidos.

Passo 6

Agora a imagem (conjunto de valores possíveis). Vou estudar os dois ramos separadamente e depois fazer a união.
Ramo 1: para x<0 temos y=x+2.
  • É uma reta de inclinação 1. Quando x\to -\infty tem y\to -\infty.
  • Quando x\to 0^- (aproximação pela esquerda) tem y\to 2, porém x=0 não pertence a esse ramo, então y=2 não é atingido por este ramo (é apenas limite). Portanto a imagem do ramo 1 é o intervalo aberto (-\infty,2).
Ramo 2: para x\geq0 temos y=1-x.
  • É uma reta de inclinação -1. Para x=0 obtemos y=1.
  • À medida que x\to\infty temos y\to -\infty.
  • Assim a imagem do ramo 2 é (-\infty,1] (inclusive 1 pois ocorre em x=0).
União das imagens:
(-\infty,2)\\ \cup\\ (-\infty,1] = (-\infty,2).
Portanto a imagem total da função é (-\infty,2). Observação chave: o valor 2 não é atingido por nenhum ramo (seria atingido por x=0 no ramo x+2, mas x=0 pertence ao segundo ramo, onde f(0)=1), então 2 fica fora da imagem.

Passo 7

Esboço do gráfico (como desenhar passo a passo):
  • Para x<0: desenhar a reta y=x+2. Ela tem coeficiente angular 1 e intercepto em y-axis igual a 2. No ponto x=0 essa reta atinge y=2, mas como o ramo é estrito ( x<0) colocamos nesse ponto um círculo aberto em (0,2).
  • Para x\geq0: desenhar a reta y=1-x. Ela passa por (0,1) (colocar ponto cheio/fechado porque x=0 pertence a este ramo) e segue decrescendo com inclinação -1 quando x aumenta.
  • Interpretação visual: duas semirretas (segmentos de reta para x<0 e x\ge0) que não se encontram em x=0 — há um salto (descontinuidade de salto) entre o ponto de acumulação pela esquerda (0,2) (aberto) e o valor real (0,1) (fechado). Para x\to-\infty e x\to\infty ambas as peças tendem a -\infty, por isso a imagem é não limitada inferiormente; limitada superiormente por 2, não atingida.
Se quiser desenhar rápido no papel: marque os pontos e trace as retas:
  • pontos de referência: x=-2 \Rightarrow f(-2)=-2+2=0; x=-1\Rightarrow f(-1)=1; x=-0{,}5\Rightarrow f(-0{,}5)=1{,}5;
  • x=0\Rightarrow f(0)=1; x=1\Rightarrow f(1)=0; x=2\Rightarrow f(2)=-1.
    Isso ajuda a posicionar as duas peças.

Passo 8

Resumo final e incentivo: como vimos, a versão original estava ambígua; assumindo a correção natural x\geq0 para o segundo ramo obtivemos domínio todo \mathbb{R}, imagem (-\infty,2) e um gráfico formado por duas retas com um salto em x=0. Se você quiser, eu desenho um esboço ASCII ou exporto uma figura; também posso resolver se preferir que eu mantenha exatamente o \leq 0 do enunciado original (ai a função fica mal definida e a resposta é que falta informação).

Resposta

\mathcal{D}=\mathbb{R}
\text{Im}(f)=(-\infty,2)

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