e pede o domínio, a imagem e o esboço do gráfico. O conteúdo envolvido é análise de funções definidas em partes, determinação de domínio e imagem e representação gráfica de retas em trechos.
Passo 2
Para encontrar o domínio basta observar onde cada definição faz sentido. Temos três intervalos que cobrem todos os reais:
(-infty,-2),[-2,2),[2,infty)
Como não existe nenhuma restrição adicional, o domínio é a reunião desses intervalos, ou seja R.
Passo 3
Vamos achar a imagem analisando cada ramo:
Para x<-2,
f(x)=6x+7
Quando xto -infty, f(x)to -infty. Quando xto -2^-,
f(-2^-)=6cdot(-2)+7=-12+7=-5,
mas esse valor não é atingido (ponto aberto). Logo este ramo gera a imagem (-infty,-5).
Para -2<= x<2,
f(x)=2x+1
Em x=-2 temos f(-2)=2cdot(-2)+1=-3 (ponto fechado). Em xto2^- temos
f(2^-)=2cdot2+1=5
sem incluir 5. Portanto a imagem deste trecho é [-3,5).
Para x>=2,
f(x)=x+1
Em x=2 temos f(2)=3 (ponto fechado) e, à medida que xtoinfty, f(x)toinfty. Assim a imagem é [3,infty).
Unindo tudo, a imagem de f é
(-infty,-5);cup;[-3,infty)
Passo 4
Esboço do gráfico:
Para x<-2, reta de inclinação 6 passando “por” (-2,-5) com círculo aberto nesse ponto.
Para -2<= x<2, reta de inclinação 2 passando de (-2,-3) (ponto fechado) até (2,5) (ponto aberto).
Para x>=2, reta de inclinação 1 iniciando em (2,3) com ponto fechado e seguindo indefinidamente para a direita.
Resposta
Domínio: R
Imagem: (-infty,-5)cup[-3,infty)
Gráfico: conforme descrito no Passo 4.