Encontre o domínio, a imagem e esboce o gráfico das funções
f(x)= 6 x+7, & x<-2 2 x+1, & -2 <= x<2 x+1, & x >= 2

Passo 1

O enunciado nos dá a função por partes
f(x)= 6x+7, & x<-2, 2x+1, & -2<= x<2, x+1, & x>= 2,
e pede o domínio, a imagem e o esboço do gráfico. O conteúdo envolvido é análise de funções definidas em partes, determinação de domínio e imagem e representação gráfica de retas em trechos.

Passo 2

Para encontrar o domínio basta observar onde cada definição faz sentido. Temos três intervalos que cobrem todos os reais:
(-infty,-2),[-2,2),[2,infty)
Como não existe nenhuma restrição adicional, o domínio é a reunião desses intervalos, ou seja R.

Passo 3

Vamos achar a imagem analisando cada ramo:
  1. Para x<-2,
    f(x)=6x+7
    Quando xto -infty, f(x)to -infty. Quando xto -2^-,
    f(-2^-)=6cdot(-2)+7=-12+7=-5,
    mas esse valor não é atingido (ponto aberto). Logo este ramo gera a imagem (-infty,-5).
  2. Para -2<= x<2,
    f(x)=2x+1
    Em x=-2 temos f(-2)=2cdot(-2)+1=-3 (ponto fechado). Em xto2^- temos
    f(2^-)=2cdot2+1=5
    sem incluir 5. Portanto a imagem deste trecho é [-3,5).
  3. Para x>=2,
    f(x)=x+1
    Em x=2 temos f(2)=3 (ponto fechado) e, à medida que xtoinfty, f(x)toinfty. Assim a imagem é [3,infty).
Unindo tudo, a imagem de f é
(-infty,-5);cup;[-3,infty)

Passo 4

Esboço do gráfico:
  • Para x<-2, reta de inclinação 6 passando “por” (-2,-5) com círculo aberto nesse ponto.
  • Para -2<= x<2, reta de inclinação 2 passando de (-2,-3) (ponto fechado) até (2,5) (ponto aberto).
  • Para x>=2, reta de inclinação 1 iniciando em (2,3) com ponto fechado e seguindo indefinidamente para a direita.

Resposta

Domínio: R
Imagem: (-infty,-5)cup[-3,infty)
Gráfico: conforme descrito no Passo 4.

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